北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $u=x-t$ とおくと、$t=x-u$ である。$t=0$ のとき $u=x$、$t=x$ のとき $u=0$ であるから、$${\int }_0^{x}t\sin (x-t)dt={\int }_x^0(x-u)\sin u(-du)={\int }_0^x(x-u)\sin udu$$となる。

よって $${\int }_0^x(x-u)\sin udu=x{\int }_0^x\sin udu-{\int }_0^{x}u\sin udu$$ である。ここで $${\int }_0^x\sin udu=1-\cos x$$ であり、部分積分により$${\int }_0^{x}u\sin udu={[-u\cos u]}_0^x+{\int }_0^x\cos udu=-x\cos x+\sin x$$である。したがって $${\int }_0^{x}t\sin (x-t)dt=x(1-\cos x)-(-x\cos x+\sin x)=x-\sin x$$ である。

(2)
被積分関数を展開すると$${\{\sin (x-t)-\frac{t}{4}\}}^2={\sin }^2(x-t)-\frac{t}{2}\sin (x-t)+\frac{t^2}{16}$$である。したがって$$f(x)={\int }_0^x{\sin }^2(x-t)dt-\frac{1}{2}{\int }_0^{x}t\sin (x-t)dt+\frac{1}{16}{\int }_0^x{t}^{2}dt$$となる。

まず $u=x-t$ とおくと $${\int }_0^x{\sin }^2(x-t)dt={\int }_0^x{\sin }^{2}udu$$ であり、$${\sin }^{2}u={\displaystyle \frac{1-\cos 2u}{2}}$$ より $${\int }_0^x{\sin }^{2}udu=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}$$ である。また(1)より $${\int }_0^{x}t\sin (x-t)dt=x-\sin x$$ で、$${\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{x^3}{3}$$ である。

以上を代入して $$f(x)=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}-\frac{1}{2}(x-\sin x)+\frac{x^3}{48}$$ となる。よって $$f(x)=\frac{\sin x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{x^3}{48}$$ である。

(3)
(2)の結果を用いる。$\sin 2x=2\sin x\cos x$ であるから、$$\frac{\sin x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}=\frac{\sin x}{2}-\frac{2\sin x\cos x}{4}=\frac{\sin x}{2}(1-\cos x)$$である。したがって$$\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}+\frac{1}{48}$$となる。

また $$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$$ より $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin (x\mathrm{/}2)}{x\mathrm{/}2}\right)}^2$$ であるから、$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$ である。ゆえに$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{48}=\frac{13}{48}$$である。