熊本大学 2017年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標空間内に $3$ 点 $A (2, 0, 0)$ ， $B (0, 4, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ がある．ただし， $c > 0$ とする． $∠ B A C = θ$ とし， $△ A B C$ の面積を $S$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(問1) $cos θ$ ， $sin θ$ を $c$ を用いて表せ．

(問2) 点 $O$ を中心とする半径 $1$ の球面上の点を $H$ とする．ベクトル $H A$ ， $H B$ ， $H C$ がいずれもベクトル $O H$ に垂直であるとき， $c$ の値を求めよ．

(問3) (問2)の条件のもとで，面積 $S$ を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期文理共通第1問

方針

解法1

$∠ B A C$ は $A B$ と $A C$ のなす角として内積から求める。点 $H = (x, y, z)$ をおき， $H A ⊥ O H$ などを $A \cdot H = 1$ ， $B \cdot H = 1$ ， $C \cdot H = 1$ に直す。最後は $S = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ$ で面積を求める。

解法2

面積は外積で，球面条件は平面 $A B C$ と原点の距離で処理する。点 $H$ の条件から $A B C$ の平面が $H \cdot X = 1$ と表せることを利用する。

解答

解法1

(問1)

A B = (- 2, 4, 0), A C = (- 2, 0, c)

である。したがって

A B \cdot A C = 4, ∣ A B ∣ = 25, ∣ A C ∣ = c^{2} + 4

より

cos θ = \frac{2}{5 c ^{2} + 4}

である。また $0 < θ < π$ であるから

sin θ = 1 - cos^{2} θ = \frac{5 c ^{2} + 16}{5 c ^{2} + 4}

である。

(問2)

$H = (x, y, z)$ とおく。 $∣ O H ∣ = 1$ であり， $H A ⊥ O H$ より

(A - H) \cdot H = 0

であるから， $A \cdot H = ∣ H ∣^{2} = 1$ である。同様に $B \cdot H = 1$ ， $C \cdot H = 1$ である。よって

2 x = 1, 4 y = 1, cz = 1

となる。さらに $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ より

\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{c ^{2}} = 1

である。したがって $\frac{1}{c ^{2}} = \frac{11}{16}$ であり， $c > 0$ だから

c = \frac{4 11}{11}

である。

(問3)

三角形の面積は

S = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ

である。問1の結果を代入すると

S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot c^{2} + 4 \cdot \frac{5 c ^{2} + 16}{5 c ^{2} + 4} = 5 c^{2} + 16

である。(問2)より $c^{2} = \frac{16}{11}$ なので

S = \frac{80}{11} + 16 = \frac{16 11}{11}

である。

解法2

(問1)

A B = (- 2, 4, 0), A C = (- 2, 0, c)

より

A B \times A C = (4 c, 2 c, 8)

である。したがって

cos θ = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣∣ A C ∣} = \frac{2}{5 c ^{2} + 4},

sin θ = \frac{∣ A B \times A C ∣}{∣ A B ∣∣ A C ∣} = \frac{5 c ^{2} + 16}{5 c ^{2} + 4}

である。

(問2)

条件から

(A - H) \cdot H = (B - H) \cdot H = (C - H) \cdot H = 0

であり， $∣ H ∣ = 1$ だから

A \cdot H = B \cdot H = C \cdot H = 1

となる。よって平面 $A B C$ は $H \cdot X = 1$ であり，原点からこの平面までの距離は $1/∣ H ∣ = 1$ である。

一方，平面 $A B C$ の切片形は

\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{c} = 1

だから，原点との距離は

\frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{c ^{2}}}

である。これが $1$ に等しいので

\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{c ^{2}} = 1

となり，

c = \frac{4 11}{11}

を得る。

(問3)

外積から

S = \frac{1}{2} (4 c)^{2} + (2 c)^{2} + 8^{2} = 5 c^{2} + 16

である。 $c^{2} = 16/11$ を代入して

S = \frac{16 11}{11}

である。

熊本大学 2017年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文理共通数学第1問（理工系）