熊本大学 2017年度文理共通数学第1問（理工系2）解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標空間内に $3$ 点 $A (a, 0, 0)$ ， $B (0, b, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ がある．ただし， $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ とする． $∠ B A C = θ$ とし， $△ A B C$ の面積を $S$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(問1) $cos θ$ ， $sin θ$ を $a$ ， $b$ ， $c$ を用いて表せ．

(問2) 点 $O$ を中心とする半径 $1$ の球面上の点を $H$ とする．ベクトル $H A$ ， $H B$ ， $H C$ がいずれもベクトル $O H$ に垂直であるとき， $\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} = 1$ が成り立つことを示せ．

(問3) (問2)の条件のもとで， $a = 3$ としたとき，面積 $S$ の最小値とそのときの $b$ ， $c$ の値を求めよ．

（編注）2021年名古屋市立大中期薬学部で改変して活用

出典：熊本大学 2017年度前期文理共通第1問

方針

解法1

(問1)(問2)は座標成分で内積条件を処理する。(問3)では $S = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ$ から $S^{2}$ を $b^{2}, c^{2}$ で表し，条件 $1/ b^{2} + 1/ c^{2} = 8/9$ を用いて $b^{2} + c^{2}$ の下限を出す。等号成立条件から $b = c$ を決める。

解法2

角と面積は外積で処理し，球面条件は切片形の平面と原点の距離として読む。最小化では $1/ b^{2}, 1/ c^{2}$ を変数にして積を最大化する。

解答

解法1

(問1)

A B = (- a, b, 0), A C = (- a, 0, c)

である。よって

A B \cdot A C = a^{2}, ∣ A B ∣ = a^{2} + b^{2}, ∣ A C ∣ = a^{2} + c^{2}

より

cos θ = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} a ^{2} + c ^{2}}

である。また $0 < θ < π$ であるから

sin θ = \frac{a ^{2} b ^{2} + a ^{2} c ^{2} + b ^{2} c ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} a ^{2} + c ^{2}}

である。

(問2)

$H = (x, y, z)$ とおく。 $∣ O H ∣ = 1$ であり， $H A ⊥ O H$ より

(A - H) \cdot H = 0

である。したがって $A \cdot H = 1$ であり，同様に $B \cdot H = 1$ ， $C \cdot H = 1$ である。よって

a x = 1, b y = 1, cz = 1

である。これを $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ に代入して

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} = 1

を得る。

(問3)

問1より

S = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ ∣ A C ∣ sin θ

であるから

S^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2})

である。 $a = 3$ のとき，(問2)の条件は

\frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} = \frac{8}{9}

である。 $x = b^{2}$ ， $y = c^{2}$ とおくと

\frac{x + y}{x y} = \frac{8}{9}

すなわち $x y = \frac{9}{8} (x + y)$ である。したがって

S^{2} = \frac{1}{4} {9 (x + y) + x y} = \frac{81}{32} (x + y)

である。

一方， $(x - y)^{2} ≧ 0$ より $x y ≦ \frac{( x + y ) ^{2}}{4}$ である。 $x y = \frac{9}{8} (x + y)$ を用いると

\frac{9}{8} (x + y) ≦ \frac{( x + y ) ^{2}}{4}

であり， $x + y > 0$ だから $x + y ≧ \frac{9}{2}$ である。よって

S^{2} ≧ \frac{81}{32} \cdot \frac{9}{2} = \frac{729}{64}

である。等号は $x = y$ のとき成立し，このとき $x = y = \frac{9}{4}$ である。したがって

S_{m i n} = \frac{27}{8}, b = c = \frac{3}{2}

である。

解法2

(問1)

A B = (- a, b, 0), A C = (- a, 0, c)

であり，

A B \times A C = (b c, a c, ab)

である。よって

cos θ = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} a ^{2} + c ^{2}},

sin θ = \frac{a ^{2} b ^{2} + a ^{2} c ^{2} + b ^{2} c ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} a ^{2} + c ^{2}}

である。

(問2)

点 $H$ の条件から平面 $A B C$ は $H \cdot X = 1$ と表され， $∣ H ∣ = 1$ なので原点から平面までの距離は $1$ である。一方，切片形

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

から距離は

\frac{1}{1/ a ^{2} + 1/ b ^{2} + 1/ c ^{2}}

である。よって

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} = 1

を得る。

(問3)

$u = 1/ b^{2}, v = 1/ c^{2}$ とおくと， $a = 3$ では

u + v = \frac{8}{9}

である。外積から

S^{2} = \frac{1}{4} (9 b^{2} + 9 c^{2} + b^{2} c^{2}) = \frac{9 ( u + v ) + 1}{4 uv} = \frac{9}{4 uv}

となる。相加・相乗平均より

uv ≦ (\frac{u + v}{2})^{2} = \frac{16}{81}

だから

S^{2} ≧ \frac{729}{64} .

等号は $u = v = 4/9$ のときであり，

S_{m i n} = \frac{27}{8}, b = c = \frac{3}{2}

である。

熊本大学 2017年度文理共通数学 第1問（理工系2）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文理共通数学第1問（理工系2）