熊本大学 2017年度文理共通数学第4問解答・解説

問題

$f (x) = x^{2} + x$ とし， $j$ は自然数とする．数列 ${a_{n}}$ を次のように定める． $a_{1} = 2$ とする． $a_{n}$ （ $n ≧ 1$ ）に対して，座標平面上の曲線 $y = f (x)$ 上の点 $((a_{n})^{j}, f ((a_{n})^{j}))$ における接線と直線 $y = x$ との交点の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．ただし， $(a_{n})^{j}$ は $a_{n}$ の $j$ 乗を表す．以下の問いに答えよ．

(問1) すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} > 0$ が成り立つことを示せ．

(問2) $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ．

(問3) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期文理共通第4問

方針

解法1

接点の $x$ 座標を $u = (a_{n})^{j}$ として，接線と $y = x$ の交点から $a_{n + 1} = a_{n}^{j} /2$ を得る。対数を取ると $b_{n + 1} = j b_{n} - 1$ となる。 $j = 1$ と $j \neq = 1$ で一次漸化式の解き方が分かれるため，最後に場合分けして $a_{n}$ へ戻す。

解法2

接線から $a_{n + 1} = a_{n}^{j} /2$ を得て対数をとり，得られた一次漸化式を反復代入と等比和で解く。 $j = 1$ だけは先に分ける。

解答

解法1

(問1)

$u = (a_{n})^{j}$ とおく。 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ であるから，曲線 $y = f (x)$ の点 $(u, f (u))$ における接線は

y = (2 u + 1) (x - u) + u^{2} + u = (2 u + 1) x - u^{2}

である。これと $y = x$ の交点の $x$ 座標は

x = (2 u + 1) x - u^{2}

より $x = \frac{u}{2}$ である。したがって

a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{j}}{2}

である。 $a_{1} = 2 > 0$ であり， $a_{n} > 0$ ならば $a_{n + 1} > 0$ であるから，すべての自然数 $n$ に対して $a_{n} > 0$ が成り立つ。

(問2)

(問1)より

b_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} = lo g_{2} \frac{a _{n}^{j}}{2} = j lo g_{2} a_{n} - 1 = j b_{n} - 1

である。

(問3)

$b_{1} = lo g_{2} 2 = 1$ である。

$j = 1$ のとき，(問2)より $b_{n + 1} = b_{n} - 1$ であるから

b_{n} = 2 - n

である。したがって

a_{n} = 2^{2 - n}

である。

$j \neq = 1$ のとき，

b_{n + 1} - \frac{1}{j - 1} = j (b_{n} - \frac{1}{j - 1})

である。よって

b_{n} - \frac{1}{j - 1} = j^{n - 1} (1 - \frac{1}{j - 1})

となり，

b_{n} = \frac{( j - 2 ) j ^{n - 1} + 1}{j - 1}

である。したがって

a_{n} = 2^{\frac{( j - 2 ) j ^{n - 1} + 1}{j - 1}}

である。

解法2

(問1)

$u = a_{n}^{j}$ とおくと接線は $y = (2 u + 1) x - u^{2}$ であり， $y = x$ との交点から

a_{n + 1} = \frac{u}{2} = \frac{a _{n}^{j}}{2}

を得る。 $a_{1} = 2 > 0$ なので，帰納的に $a_{n} > 0$ である。

(問2)

b_{n + 1} = lo g_{2} \frac{a _{n}^{j}}{2} = j b_{n} - 1

である。

(問3)

$b_{1} = 1$ である。 $j = 1$ なら $b_{n} = 2 - n$ だから

a_{n} = 2^{2 - n}

である。 $j \neq = 1$ なら反復代入して

b_{n} = j^{n - 1} - r = 0 \sum n - 2 j^{r} = \frac{( j - 2 ) j ^{n - 1} + 1}{j - 1}

となる。よって

a_{n} = 2^{\frac{( j - 2 ) j ^{n - 1} + 1}{j - 1}}

である。

熊本大学 2017年度文理共通数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文理共通数学第4問