熊本大学 2017年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

$f (x) = x^{2} + x$ とし，数列 ${a_{n}}$ を次のように定める． $a_{1} = 8$ とする． $a_{n}$ （ $n ≧ 1$ ）に対して，座標平面上の曲線 $y = f (x)$ 上の点 $((a_{n})^{2}, f ((a_{n})^{2}))$ における接線と直線 $y = x$ との交点の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．ただし， $(a_{n})^{2}$ は $a_{n}$ の $2$ 乗を表す．以下の問いに答えよ．

(問1) すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} > 0$ が成り立つことを示せ．

(問2) $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ．

(問3) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期文理共通第3問

方針

解法1

接点の $x$ 座標を $u = (a_{n})^{2}$ とおき， $y = x^{2} + x$ の接線と $y = x$ の交点を計算して $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}$ を得る。正値性はこの漸化式から帰納的に示す。 $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ により一次漸化式 $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 1$ へ直し， $b_{n} - 1$ を等比数列として解く。

解法2

接線計算から得た $a_{n + 1} = a_{n}^{2} /2$ に対し，対数漸化式を固定点移動せず反復する。最後は得られた一般項を元の漸化式へ代入して帰納的にも確認する。

解答

解法1

(問1)

$u = (a_{n})^{2}$ とおく。 $f^{'} (x) = 2 x + 1$ であるから，曲線 $y = f (x)$ の点 $(u, f (u))$ における接線は

y = (2 u + 1) (x - u) + u^{2} + u = (2 u + 1) x - u^{2}

である。これと $y = x$ の交点の $x$ 座標は

x = (2 u + 1) x - u^{2}

より， $u > 0$ のとき $x = \frac{u}{2}$ である。したがって

a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}

である。 $a_{1} = 8 > 0$ であり， $a_{n} > 0$ ならば $a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2} > 0$ であるから，すべての自然数 $n$ に対して $a_{n} > 0$ が成り立つ。

(問2)

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{2}$ より

b_{n + 1} = lo g_{2} a_{n + 1} = lo g_{2} \frac{a _{n}^{2}}{2} = 2 lo g_{2} a_{n} - 1 = 2 b_{n} - 1

である。

(問3)

$b_{1} = lo g_{2} 8 = 3$ である。(問2)より

b_{n + 1} - 1 = 2 (b_{n} - 1)

であるから， $b_{n} - 1$ は初項 $2$ ，公比 $2$ の等比数列である。よって

b_{n} - 1 = 2^{n}

すなわち $b_{n} = 2^{n} + 1$ である。したがって

a_{n} = 2^{2^{n} + 1}

である。

解法2

(問1)

$u = a_{n}^{2}$ とおくと，接線は

y = (2 u + 1) x - u^{2}

である。 $y = x$ との交点では

2 ux = u^{2}

となるので， $u > 0$ なら

a_{n + 1} = \frac{u}{2} = \frac{a _{n}^{2}}{2} > 0

である。 $a_{1} = 8 > 0$ から帰納的にすべての $a_{n}$ は正である。

(問2)

b_{n + 1} = lo g_{2} \frac{a _{n}^{2}}{2} = 2 b_{n} - 1

である。

(問3)

$b_{1} = 3$ であり，漸化式を繰り返すと

b_{n} = 2^{n - 1} b_{1} - (1 + 2 + \dots + 2^{n - 2}) = 3 \cdot 2^{n - 1} - (2^{n - 1} - 1) = 2^{n} + 1

となる。よって

a_{n} = 2^{b_{n}} = 2^{2^{n} + 1}

である。実際，この式は $a_{1} = 8$ を満たし， $a_{n}^{2} /2 = a_{n + 1}$ となる。

熊本大学 2017年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
文理共通数学第3問