熊本大学 2017年度 前期 教育・看護文系数学 第1問

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-2,4,0),\overrightarrow{AC}=(-2,0,c)$$である。したがって$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=2\sqrt{5},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{c^2+4}$$より$$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{c^2+4}}$$である。また $0<\theta <\pi$ であるから$$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\frac{\sqrt{5c^2+16}}{\sqrt{5}\sqrt{c^2+4}}$$である。

(問2)
$H=(x,y,z)$ とおく。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OH}\mathrm{\mid }=1$ であり，$\overrightarrow{HA}\perp \overrightarrow{OH}$ より$$(A-H)\cdot H=0$$であるから，$A\cdot H=\mathrm{\mid }H{\mathrm{\mid }}^2=1$ である。同様に $B\cdot H=1$，$C\cdot H=1$ である。よって$$2x=1,4y=1,cz=1$$となる。さらに $x^2+y^2+z^2=1$ より$$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{c^2}=1$$である。したがって $$\frac{1}{c^2}=\frac{11}{16}$$ であり，$c>0$ だから$$c=\frac{4\sqrt{11}}{11}$$である。

(問3)
三角形の面積は$$S=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }\sin \theta$$である。問1の結果を代入すると$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{c^2+4}\cdot \frac{\sqrt{5c^2+16}}{\sqrt{5}\sqrt{c^2+4}}=\sqrt{5c^2+16}$$である。(問2)より $$c^2=\frac{16}{11}$$ なので$$S=\sqrt{\frac{80}{11}+16}=\frac{16\sqrt{11}}{11}$$である。

面積は外積で，球面条件は平面$ABC$と原点の距離で処理する。点$H$の条件から$ABC$の平面が$H\cdot X=1$と表せることを利用する。

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-2,4,0),\overrightarrow{AC}=(-2,0,c)$$より$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4c,2c,8)$$である。したがって$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }}=\frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{c^2+4}},$$$$\sin \theta =\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }}=\frac{\sqrt{5c^2+16}}{\sqrt{5}\sqrt{c^2+4}}$$である。

(問2)
条件から$$(A-H)\cdot H=(B-H)\cdot H=(C-H)\cdot H=0$$であり，$\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }=1$だから$$A\cdot H=B\cdot H=C\cdot H=1$$となる。よって平面$ABC$は$H\cdot X=1$であり，原点からこの平面までの距離は$1\mathrm{/}\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }=1$である。

一方，平面$ABC$の切片形は$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{c}=1$$だから，原点との距離は$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{c^2}}}$$である。これが$1$に等しいので$$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{c^2}=1$$となり，$$c=\frac{4\sqrt{11}}{11}$$を得る。

(問3)
外積から$$S=\frac{1}{2}\sqrt{(4c{)}^2+(2c{)}^2+8^2}=\sqrt{5c^2+16}$$である。$c^2=16\mathrm{/}11$を代入して$$S=\frac{16\sqrt{11}}{11}$$である。