熊本大学 2017年度 前期 理工系文系数学 第1問

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-a,b,0),\overrightarrow{AC}=(-a,0,c)$$である。よって$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+c^2}$$より$$\cos \theta =\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}$$である。また $0<\theta <\pi$ であるから$$\sin \theta =\frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}$$である。

(問2)
$H=(x,y,z)$ とおく。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OH}\mathrm{\mid }=1$ であり，$\overrightarrow{HA}\perp \overrightarrow{OH}$ より$$(A-H)\cdot H=0$$である。したがって $A\cdot H=1$ であり，同様に $B\cdot H=1$，$C\cdot H=1$ である。よって$$ax=1,by=1,cz=1$$である。これを $x^2+y^2+z^2=1$ に代入して$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$$を得る。

(問3)
問1より$$S=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }\sin \theta$$であるから$$S^2=\frac{1}{4}(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)$$である。$a=3$ のとき，(問2)の条件は$$\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{8}{9}$$である。$x=b^2$，$y=c^2$ とおくと$$\frac{x+y}{xy}=\frac{8}{9}$$すなわち $xy=\frac{9}{8}(x+y)$ である。したがって$$S^2=\frac{1}{4}\{9(x+y)+xy\}=\frac{81}{32}(x+y)$$である。

一方，$(x-y{)}^2\geqq 0$ より $$xy\leqq \frac{(x+y{)}^2}{4}$$ である。$xy=\frac{9}{8}(x+y)$ を用いると$$\frac{9}{8}(x+y)\leqq \frac{(x+y{)}^2}{4}$$であり，$x+y>0$ だから $x+y\geqq \frac{9}{2}$ である。よって$$S^2\geqq \frac{81}{32}\cdot \frac{9}{2}=\frac{729}{64}$$である。等号は $x=y$ のとき成立し，このとき $x=y=\frac{9}{4}$ である。したがって$$S_{\min }=\frac{27}{8},b=c=\frac{3}{2}$$である。

角と面積は外積で処理し，球面条件は切片形の平面と原点の距離として読む。最小化では$1\mathrm{/}{b}^2,1\mathrm{/}{c}^2$を変数にして積を最大化する。

(問1)$$\overrightarrow{AB}=(-a,b,0),\overrightarrow{AC}=(-a,0,c)$$であり，$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(bc,ac,ab)$$である。よって$$\cos \theta =\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}},$$$$\sin \theta =\frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}$$である。

(問2)
点$H$の条件から平面$ABC$は$H\cdot X=1$と表され，$\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }=1$なので原点から平面までの距離は$1$である。一方，切片形$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$から距離は$$\frac{1}{\sqrt{1\mathrm{/}{a}^2+1\mathrm{/}{b}^2+1\mathrm{/}{c}^2}}$$である。よって$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$$を得る。

(問3)
$u=1\mathrm{/}{b}^2,v=1\mathrm{/}{c}^2$とおくと，$a=3$では$$u+v=\frac{8}{9}$$である。外積から$$S^2=\frac{1}{4}(9b^2+9c^2+b^2{c}^2)=\frac{9(u+v)+1}{4uv}=\frac{9}{4uv}$$となる。相加・相乗平均より$$uv\leqq {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=\frac{16}{81}$$だから$$S^2\geqq \frac{729}{64}\mathrm{.}$$等号は$u=v=4\mathrm{/}9$のときであり，$$S_{\min }=\frac{27}{8},b=c=\frac{3}{2}$$である。