熊本大学 2019年度 前期 確率・場合の数理系数学 第4問

(問1)
取り出す $n$ 個の球のうち赤球が $k$ 個であるには，赤球 $n$ 個から $k$ 個，白球 $n$ 個から $n-k$ 個を選べばよい。したがってその取り出し方は$${}_n{\mathrm{C}}_k{}_n{\mathrm{C}}_{n-k}=({}_n{\mathrm{C}}_k{)}^2$$通りである。全体の取り出し方は ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ 通りであるから，求める確率は$$\frac{({}_n{\mathrm{C}}_k{)}^2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}$$である。
(問2)
赤球が $k$ 個であるとき，手元の球全体に対する赤球の比率は ${\displaystyle \frac{k}{n}}$ であるから，ゲームに勝つ確率は ${\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2$ である。よって求める確率は$$\frac{({}_n{\mathrm{C}}_k{)}^2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$$である。ここで$${}_n{\mathrm{C}}_k=\frac{n}{k}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1},{}_{2n}{\mathrm{C}}_n=\frac{2(2n-1)}{n}{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}$$であるから，上の確率は$$\frac{n}{2(2n-1)}\cdot \frac{({}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{)}^2}{{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}}$$である。
(問3)
ゲームに勝つ確率は，(問2)を $k=1,2,\dots ,n$ について加えればよい。ここで$$\sum _{k=1}^n({}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{)}^2={}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}$$である。実際，左辺は二つの $n-1$ 個の集合から合計 $n-1$ 個を選ぶとき，一方から $k-1$ 個，他方から $n-k$ 個を選ぶ場合に分けて数えたものである。したがって$$\sum _{k=1}^n\frac{n}{2(2n-1)}\cdot \frac{({}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{)}^2}{{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}}=\frac{n}{2(2n-1)}$$である。

問1・問2は組合せを『指定した赤球を含む選び方』へ変形する。問3では勝率 $p^2$ を、手元の球から復元抽出で2回とも赤球を引く確率と読み替え、同じ球を2回指定する場合と異なる2球を指定する場合を直接数える。

(問1)
赤球から $k$ 個、白球から $n-k$ 個を選ぶので$$\mathrm{Pr}(K=k)=\frac{{}_n{\mathrm{C}}_k{}_n{\mathrm{C}}_{n-k}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}=\frac{({}_n{\mathrm{C}}_k{)}^2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}\mathrm{.}$$(問2)
$K=k$ のとき勝率は $(k\mathrm{/}n{)}^2$ だから$$\mathrm{Pr}(K=k,\text{勝})=\frac{({}_n{\mathrm{C}}_k{)}^2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}\frac{k^2}{n^2}\mathrm{.}$$ここで $$k{}_n{\mathrm{C}}_k=n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$$ を両方の組合せに使い、さらに$${}_{2n}{\mathrm{C}}_n=\frac{2(2n-1)}{n}{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}$$を使えば、$$\mathrm{Pr}(K=k,\text{勝})=\frac{n}{2(2n-1)}\cdot \frac{({}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{)}^2}{{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}}\mathrm{.}$$(問3)
手元の $n$ 球から復元抽出で2回球を指定し、2回とも赤球なら勝ち、と考える。この条件付き確率は確かに $p^2$ である。指定する位置の順序対は全部で $n^2$ 通りある。
同じ位置を2回指定する順序対は $n$ 通りで、その球が赤である確率は $1\mathrm{/}2$ である。異なる位置を指定する順序対は $n(n-1)$ 通りで、その2球がともに赤である確率は$$\frac{n}{2n}\cdot \frac{n-1}{2n-1}=\frac{n-1}{2(2n-1)}\mathrm{.}$$したがって勝つ確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{n^2}\{n\cdot \frac{1}{2}+n(n-1)\cdot \frac{n-1}{2(2n-1)}\}}& {\displaystyle =\frac{1}{2n}(1+\frac{(n-1{)}^2}{2n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n}{2(2n-1)}\mathrm{.}}\end{array}$$