熊本大学 2018年度 前期数学① 第2問

(問1)
$P$ は点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上にあるので$$0<\theta <\frac{\pi }{3}$$である。円の半径は $1$ であり，弦の長さは対応する中心角の半分の正弦の $2$ 倍である。$\mathrm{\angle }PBA=\theta$ より弧 $PA$ の中心角は $2\theta$ であるから$$PA=2\sin \theta$$である。また弧 $PB$ の中心角は ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-2\theta$ であるから$$PB=2\sin (\frac{\pi }{3}-\theta )$$である。さらに$$PC=2\sin (\frac{2\pi }{3}-\theta )$$である。

したがって$$PA+PB+PC=2\{\sin \theta +\sin (\frac{\pi }{3}-\theta )+\sin (\frac{2\pi }{3}-\theta )\}$$である。ここで$$\sin \theta +\sin (\frac{\pi }{3}-\theta )=\cos (\theta -\frac{\pi }{6})$$かつ$$\sin (\frac{2\pi }{3}-\theta )=\cos (\theta -\frac{\pi }{6})$$であるから$$PA+PB+PC=4\cos (\theta -\frac{\pi }{6})$$である。$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ より，最大値は $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ のとき$$4$$である。

(問2)
円の中心を $O$ とする。$O$ を原点とするベクトルで点 $A,B,C,P$ を表すと，$$\mathrm{\mid }\vec{A}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{B}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{C}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{P}\mathrm{\mid }=1$$ であり，正三角形の対称性より$$\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$$である。したがって$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=\mathrm{\mid }\vec{P}-\vec{A}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{P}-\vec{B}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{P}-\vec{C}{\mathrm{\mid }}^2$$$$=3\mathrm{\mid }\vec{P}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{A}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{B}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{C}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{P}\cdot (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})=6$$である。

円に内接する四角形 $APBC$ にトレミーの定理を使い、3辺の和を弦 $PC$ の長さだけで表す。二乗和は弦長表示を三角恒等式で整理する。

(問1)

円に内接する四角形 $APBC$ にトレミーの定理を用いると$$AB\cdot PC=AP\cdot BC+PB\cdot CA\mathrm{.}$$正三角形 $ABC$ は半径 $1$ の円に内接するので$$AB=BC=CA=\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって$$PC=AP+PB\mathrm{.}$$よって$$PA+PB+PC=2PC\mathrm{.}$$半径 $1$ の円の弦は直径を超えないから$$PC\leqq 2.$$点 $P$ が $C$ の対蹠点であるとき等号が成り立ち、この点は弧 $AB$ の条件を満たす。したがって最大値は$$4.$$各長さについては円周角と正弦定理から$$PA=2\sin \theta ,$$$$PB=2\sin (\frac{\pi }{3}-\theta ),PC=2\sin (\frac{2\pi }{3}-\theta )\mathrm{.}$$(問2)

上の弦長表示より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=4\{}& {\displaystyle {\sin }^2\theta +{\sin }^2(\frac{\pi }{3}-\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\sin }^2(\frac{2\pi }{3}-\theta )\}\mathrm{.}}\end{array}$$${\sin }^{2}u=(1-\cos 2u)\mathrm{/}2$ を用いる。このとき$$\cos 2\theta +\cos (\frac{2\pi }{3}-2\theta )+\cos (\frac{4\pi }{3}-2\theta )=0.$$したがって波括弧内は $3\mathrm{/}2$ であり$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=6.$$