熊本大学 2018年度 前期数学③ 第4問

(問1)$$f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x+3}$$である。$-3<x<0$ では$$f(x)=-x\sqrt{x+3}$$であるから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sqrt{x+3}-\frac{x}{2\sqrt{x+3}}=-\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$$である。よって $-3<x<-2$ で増加し，$-2<x<0$ で減少する。したがって極大値は$$f(-2)=2$$である。なお $x>0$ では $$f(x)=x\sqrt{x+3}$$ は増加するので，ほかに極大値はない。

(問2)
$-3<x<0$ で$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x+3)-f(x)$$である。ここで$$f(x)=(-x)\sqrt{x+3},f(x+3)=(x+3)\sqrt{x+6}$$だから，$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は$$(x+3)\sqrt{x+6}=(-x)\sqrt{x+3}$$と同値であり，これを解くと$$x=-2$$である。また$$f(x+3{)}^2-f(x{)}^2=9(x+3)(x+2)$$より，$F(x)$ は $-3<x<-2$ で減少し，$-2<x<0$ で増加する。したがって最小値は $F(-2)$，最大値は $F(-3)$ と $F(0)$ の大きい方である。

まず$$F(-2)={\int }_{-2}^1\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\sqrt{t+3}dt=\frac{24(\sqrt{3}-1)}{5}$$である。また$$F(-3)={\int }_{-3}^0(-t)\sqrt{t+3}dt=\frac{12\sqrt{3}}{5}$$であり，$$F(0)={\int }_0^{3}t\sqrt{t+3}dt=\frac{12(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{5}$$である。よって最大値と最小値はそれぞれ$$\frac{12(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{5},\frac{24(\sqrt{3}-1)}{5}$$である。

非負関数 $f$ の代わりに $g=f^2=x^2(x+3)$ の増減を調べて極大値を得る。$F^{\mathrm{\prime }}$ は端点値の平方差で符号判定し、端点と最小点の積分値を比較する。

(問1)$$g(x)=f(x{)}^2=x^2(x+3)$$とおく。$f(x)\geqq 0$ なので、$f$ と $g$ の増減は同じである。$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x(x+2)\mathrm{.}$$したがって $-3<x<-2$ で $g$ は増加し、$-2<x<0$ で減少する。$x>0$ では増加するので、極大点は $x=-2$ だけである。よって極大値は$$f(-2)=2.$$(問2)$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x+3)-f(x)\mathrm{.}$$二項は非負なので、その符号は平方差$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+3{)}^2-f(x{)}^2}& {\displaystyle =(x+3{)}^2(x+6)-x^2(x+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9(x+3)(x+2)}\end{array}$$の符号と一致する。よって $F$ は$$[-3,-2]$$で減少し、$$[-2,0]$$で増加する。最小値は$$F(-2)=\frac{24(\sqrt{3}-1)}{5}\mathrm{.}$$最大値は両端を比較すればよい。置換 $u=t+3$ により$$F(-3)={\int }_{-3}^0(-t)\sqrt{t+3}dt=\frac{12\sqrt{3}}{5},$$$$F(0)={\int }_0^{3}t\sqrt{t+3}dt=\frac{12(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{5}\mathrm{.}$$したがって最大値は$$\frac{12(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{5},$$最小値は$$\frac{24(\sqrt{3}-1)}{5}\mathrm{.}$$