熊本大学 2017年度 前期 医学科理系数学 第2問

(問1)
$\gamma -\alpha =s+(t+1)i$ である。$$\overline{(\gamma -\alpha )}(\beta -\alpha )=(s-(t+1)i)(2-i)$$ の虚部は$$-s-2(t+1)<0$$であるから，点$B$は直線 $AC$ の負の側にある。したがって点$D$は正の側にあり，$$z=\alpha +(\gamma -\alpha )(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$$である。よって$$z=\frac{s-\sqrt{3}(t+1)}{2}+\frac{\sqrt{3}s+t-1}{2}i$$である。

(問2)
$\delta =\beta -\alpha =2-i$，$\eta =\gamma -\alpha$ とおく。与えられた等式は$${\eta }^2-2\delta \eta +4{\delta }^2=0$$であるから$$\eta =\delta (1\pm \sqrt{3}i)$$である。$\delta =2-i$ より$$\delta (1+\sqrt{3}i)=(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-1)i$$であり，$\eta =\gamma -\alpha$ の実部と虚部は正である。一方，もう一方の根は虚部が負になる。したがって$$\gamma =\alpha +(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-1)i=(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-2)i$$である。

(問1)より$$z=\alpha +\eta (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=(\sqrt{3}-2)+2\sqrt{3}i$$である。

(問3)
座標で$$A(0,-1),B(2,-2),C(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-2),D(\sqrt{3}-2,2\sqrt{3})$$と表す。直線 $AC$ 上の点を$$A+\lambda (2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)$$とおく。直線 $BD$ の方向ベクトルは$$(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$である。両直線の交点を計算すると$$F=A+\frac{1}{3}(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)$$である。

したがって$$\overrightarrow{FC}=\frac{2}{3}(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1),\overrightarrow{FD}=\frac{2}{3}(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$である。内積と長さは$$(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1)\cdot (\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)=5,$$$$\mathrm{\mid }(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1){\mathrm{\mid }}^2=20,\mathrm{\mid }(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2){\mathrm{\mid }}^2=35$$である。よって$$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{20}\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$である。

点$A$を原点へ平行移動し，辺$AC$を回転因子で表す。(問3)は交点$F$を計算せず，2直線の方向ベクトルの内積だけで角度を求める。

(問1)$$\eta =\gamma -\alpha =s+(t+1)i,\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$とおく。点$B$と反対側にある正三角形の頂点は$$z=\alpha +\omega \eta$$だから$$z=\frac{s-\sqrt{3}(t+1)}{2}+\frac{\sqrt{3}s+t-1}{2}i$$である。

(問2)
$\delta =\beta -\alpha =2-i$とおくと，与式は$${\eta }^2-2\delta \eta +4{\delta }^2=0$$である。したがって$$\frac{\eta }{\delta }=1\pm \sqrt{3}i\mathrm{.}$$$s,t>0$を満たす方を選ぶと$$\gamma =(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-2)i$$であり，$$z=\alpha +\omega \eta =(\sqrt{3}-2)+2\sqrt{3}i$$である。

(問3)
$\mathrm{\angle }DFC$は直線$BD$と直線$AC$のなす角である。方向ベクトルとして$$\overrightarrow{AC}=(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1),$$$$\overrightarrow{BD}=(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$をとると，内積は$5$，長さの二乗は$20,35$である。よって$$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{20}\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$である。