熊本大学 2017年度 前期 理工系理系数学 第2問

(問1)
$\mathrm{△}OBC$ は正三角形で，点$C$は直線 $OB$ に関して点$A$と反対側にある。$\beta =s+ti$ に ${60}^{\circ }$ の回転を施す向きを選べばよい。$$\bar{\beta }\alpha =(s-ti)(2-i)$$ の虚部は $-s-2t<0$ であるから，点$A$は直線 $OB$ の負の側にある。したがって点$C$は正の側にあり，$$z=\beta (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$$である。よって$$z=\frac{s-\sqrt{3}t}{2}+\frac{\sqrt{3}s+t}{2}i$$である。

(問2)
与えられた等式を $\beta$ について見ると$${\beta }^2-2\alpha \beta +4{\alpha }^2=0$$である。したがって$$\beta =\alpha (1\pm \sqrt{3}i)$$である。$\alpha =2-i$ より$$\alpha (1+\sqrt{3}i)=(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-1)i$$であり，これは実部・虚部ともに正である。一方，$\alpha (1-\sqrt{3}i)$ の虚部は負である。よって$$\beta =(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-1)i$$である。

(問1)より$$z=\beta (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=(\sqrt{3}-2)+(2\sqrt{3}+1)i$$である。

(問3)
座標で$$A(2,-1),B(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1),C(\sqrt{3}-2,2\sqrt{3}+1)$$と表す。直線 $OB$ 上の点を $\lambda B$ とおく。直線 $AC$ の方向ベクトルは$$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$である。$D$ が両直線の交点であることから$$D=\frac{1}{3}B$$が得られる。実際，$D-A=\frac{1}{3}B-A$ は $\overrightarrow{AC}$ と平行である。

したがって$$\overrightarrow{DB}=\frac{2}{3}(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1),\overrightarrow{DC}=\frac{2}{3}(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$である。よって$$\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=\frac{4}{9}\cdot 5,\mathrm{\mid }\overrightarrow{DB}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{4}{9}\cdot 20,\mathrm{\mid }\overrightarrow{DC}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{4}{9}\cdot 35$$であるから$$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{20}\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$である。

正三角形を回転因子で表し，方程式は比$\beta \mathrm{/}\alpha$について解く。(問3)では交点を求めず，直線$OB$と$AC$の方向ベクトルだけで角を計算する。

(問1)$$\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$とおく。点$A$は直線$OB$の負の側にあるので，反対側の頂点は$$z=\omega \beta$$である。したがって$$z=\frac{s-\sqrt{3}t}{2}+\frac{\sqrt{3}s+t}{2}i$$である。

(問2)
$\alpha \mathrm{\ne }0$なので，$u=\beta \mathrm{/}\alpha$とおくと$$u^2-2u+4=0$$であり，$$u=1\pm \sqrt{3}i$$となる。$s,t>0$を満たす方は正符号だから$$\beta =(2-i)(1+\sqrt{3}i)=(2+\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-1)i$$である。また$$z=\omega \beta =(\sqrt{3}-2)+(2\sqrt{3}+1)i$$である。

(問3)
$\mathrm{\angle }CDB$は直線$AC$と直線$OB$のなす鋭角であるから，交点$D$自体を求める必要はない。方向ベクトルとして$$\overrightarrow{OB}=(2+\sqrt{3},2\sqrt{3}-1),$$$$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{3}-4,2\sqrt{3}+2)$$をとる。内積は$5$，長さの二乗はそれぞれ$20,35$だから$$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{20}\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$である。