熊本大学 2019年度 前期 三角関数・微分理系数学 第4問

(問1)
$y=x\sin 3x+3x^2$ とおくと$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin 3x+3x\cos 3x+6x$$である。接点の $x$ 座標を $a$ とすると，接線が原点を通る条件は$$\frac{a\sin 3a+3a^2}{a}=\sin 3a+3a\cos 3a+6a$$である。$a>0$ より，これは$$\cos 3a=-1$$と同値である。$$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ より $$0<3a<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$ であるから$$3a=\pi$$であり，$$a=\frac{\pi }{3}$$である。

(問2)
(問1)より接線 $l$ の傾きは$$\frac{a\sin 3a+3a^2}{a}=\pi$$であるから，$l:y=\pi x$ である。共有点は$$x\sin 3x+3x^2=\pi x$$を満たす。$x=0$ は解である。$x>0$ のときは$$\sin 3x+3x=\pi$$である。$g(x)=\sin 3x+3x$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3(1+\cos 3x)\geqq 0$$であるから，$g(x)$ は増加する。$$g\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\pi$$ より，$x>0$ の解は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のみである。したがって共有点は$$(0,0),(\frac{\pi }{3},\frac{{\pi }^2}{3})$$である。

(問3)$$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ では $\sin 3x+3x<\pi$ であるから，直線 $l$ は曲線 $C$ より上にある。よって求める面積は$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}\{\pi x-(x\sin 3x+3x^2)\}dx$$である。部分積分により$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}x\sin 3xdx=\frac{\pi }{9}$$であるから，面積は$$\frac{{\pi }^3}{18}-\frac{\pi }{9}-\frac{{\pi }^3}{27}=\frac{\pi ({\pi }^2-6)}{54}$$である。

直線と曲線の縦の差を $F(x)=x(\pi -3x-\sin 3x)$ とまとめる。括弧内の導関数を半角公式で負の平方に直すと、共有点の一意性と上下関係を同時に示せる。面積は $t=3x$ で一つの表示積分に整理する。

(問1)
$f(x)=x\sin 3x+3x^2$ とする。接点 $x=a$ において原点を通る接線をもつ条件は$$f(a)=a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{.}$$ここで$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin 3x+3x\cos 3x+6x$$だから、$a>0$ を用いて整理すると$$3a^2(1+\cos 3a)=0.$$したがって $\cos 3a=-1$ であり、指定範囲から$$a=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$接線の傾きは $f(a)\mathrm{/}a=\pi$ なので$$\begin{array}{cccc}& l:y=\pi x\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(問2)
直線と曲線の縦の差を$$F(x)=\pi x-f(x)=xH(x),H(x)=\pi -3x-\sin 3x$$とおく。$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(1+\cos 3x)=-6{\cos }^2\frac{3x}{2}\leqq 0.$$したがって $H$ は減少し、$H(\pi \mathrm{/}3)=0$ だから、$x>0$ での解は $x=\pi \mathrm{/}3$ だけである。$x=0$ も解なので、共有点は$$(0,0),(\frac{\pi }{3},\frac{{\pi }^2}{3})\mathrm{.}$$(問3)
$0<x<\pi \mathrm{/}3$ では $H(x)>0$、すなわち直線が上側である。$t=3x$ と置けば、求める面積 $A$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}x(\pi -3x-\sin 3x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{9}{\int }_0^{\pi }t(\pi -t-\sin t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{9}(\frac{{\pi }^3}{6}-\pi )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi ({\pi }^2-6)}{54}\mathrm{.}}\end{array}$$