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熊本大学 2021年度 前期数学③ 第1問

空間の点Oを通らない平面αをとる．α上の3点A，B，Cは三角形をなすとし．OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→とおく．kを1より大きい定数とする．直線lは媒介変数tを用いて
k3(b→+2c→)+tk3(2a→−b→−c→)
と表されるとする．l上を点Xが動くとき，2点O，Xを通る直線と平面αの交点Yの軌跡をmとする．
(問1)　△ABCの各辺とmとの交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点Zについて，OZ→をa→，b→，c→を用いてそれぞれ表せ．
(問2)　A，Bの中点をDとする．lを含みαに平行な平面をβとし，O，Dを通る直線と平面βの交点をEとする．点Oとm上の点Yを通る直線は2点E，Cを通る直線と交点をもつとし，その交点をFとする．このとき，OF→をa→，b→，c→およびkを用いて表せ．

難易度6/ 10計算量7/ 10目安25分

ベクトル　ベクトル成分計算、文字消去、図形的解釈

方針

l 上の点は係数和が k なので，直線 OX と α の交点はその 1/k 倍である。平行平面 β は係数和 k の点からなることを使う。

解答

(問1)
X の位置ベクトルは2kt3a⃗+k(1−t)3b⃗+k(2−t)3c⃗で係数和は k。したがって Y はその 1/k 倍でOY→=2t3a⃗+1−t3b⃗+2−t3c⃗.よって BC との交点は t=0 で 13b⃗+23c⃗，CA との交点は t=1 で 23a⃗+13c⃗。AB では t=2 だが b⃗ の係数が負なので交点はない。

(問2)OD→=12(a⃗+b⃗)。平面 β は係数和 k の平面なのでOE→=k2(a⃗+b⃗).Y を問1の式で表し，F∈OY かつ F∈EC として係数比較するとλ2t3=k2(1−μ),λ1−t3=k2(1−μ),λ2−t3=μ.よって t=13，λ=9k5k+4。したがってOF→=2k5k+4a⃗+2k5k+4b⃗+5k5k+4c⃗.

別解

解法2（中心相似と係数比）

方針

点 O を中心とする倍率 1/k の相似で、平面 β 上の直線 l を平面 α 上の軌跡 m へ移す。(問2)は EC 上の係数比と OY の方向比を比較する。

解答

(問1)
直線 l 上の点 X の位置ベクトルはOX→=k(2t3a⃗+1−t3b⃗+2−t3c⃗)である。括弧内の3係数の和は1なので、直線 OX と平面 α の交点 Y はOY→=1kOX→=2t3a⃗+1−t3b⃗+2−t3c⃗である。すなわち m は l を点 O 中心、倍率 1/k で縮小した直線である。

辺 BC では a⃗ の係数が0なので t=0 となりOZ→=13b⃗+23c⃗である。辺 CA では b⃗ の係数が0なので t=1 となりOZ→=23a⃗+13c⃗である。辺 AB の直線とは t=2 で交わるが、b⃗ の係数が −1/3 なので辺上にはない。したがって交点数は BC と CA が各1個、AB が0個である。

(問2)
平面 β は α を点 O 中心、倍率 k で移した平面である。したがって、直線 OD と β の交点は D の像でありOE→=kOD→=k2(a⃗+b⃗)である。直線 EC 上では a⃗ と b⃗ の係数が等しいから、直線 OY の方向について2t=1−t,t=13を得る。このとき方向の係数比はa⃗:b⃗:c⃗=2:2:5である。直線 EC 上の点を(1−s)k2(a⃗+b⃗)+sc⃗と書く。c⃗ と a⃗ の係数比を比較するとsk(1−s)/2=52であり4s=5k(1−s),s=5k5k+4となる。よってOF→=2k5k+4a⃗+2k5k+4b⃗+5k5k+4c⃗である。

総評

難度6，計算量7。想定時間は25分程度。係数和1の平面 α と係数和 k の平行平面 β を区別することが最重要である。中心 O の相似として見れば X↦Y、D↦E の倍率が同時に整理でき、最後は係数比 2:2:5 に帰着する。

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出典: 熊本大学 2021年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。