熊本大学 2021年度 前期数学② 第4問

(問1)
$\sin x=\sin 2x$ は $\sin x(1-2\cos x)=0$ と同値。$0\leqq x\leqq \pi$ より$$x=0,\frac{\pi }{3},\pi \mathrm{.}$$(問2)
$h(x)=\sin x-\sin 2x$ の零点は $0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3},2\pi$。$$F(x)=-\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x$$ とすると，符号に注意して$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }dx=5.$$(問3)
$u=nx$ とおくと，周期性より$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }\sin nx-\sin 2nx\mathrm{\mid }dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{2n\pi }\mathrm{\mid }\sin u-\sin 2u\mathrm{\mid }du=5.$$(問4)
$h(u)=\mathrm{\mid }\sin u-\sin 2u\mathrm{\mid }$ とし，$nc=2\pi q_n+r_n$，$0\leqq r_n<2\pi$ とおく。$${\int }_0^{c}h(nx)dx=\frac{5q_n}{n}+\frac{1}{n}{\int }_0^{r_n}h(u)du\mathrm{.}$$第2項は0に近づき，$q_n\mathrm{/}n\to c\mathrm{/}(2\pi )$。よって極限は$$\frac{5c}{2\pi }\mathrm{.}$$

和積公式で $\sin x-\sin 2x$ を積にし、一周期の絶対値積分を対称的に計算する。極限は周期ごとの商と余りではなく、平均を引いた関数の原始関数が有界であることから直接示す。

(問1)
和積公式より$$\sin x-\sin 2x=-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$である。したがって、$0\leqq x\leqq \pi$ における解は $x=0,\pi \mathrm{/}3,\pi$ である。

(問2)
$0\leqq x\leqq 2\pi$ では $\sin (x\mathrm{/}2)\geqq 0$ である。$u=x\mathrm{/}2$ と置くと$$I={\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }\sin x-\sin 2x\mathrm{\mid }dx=4{\int }_0^{\pi }\sin u\mathrm{\mid }\cos 3u\mathrm{\mid }du$$となる。$\cos 3u$ の符号は $u=\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}2,5\pi \mathrm{/}6$ で切り替わる。また、原始関数は ${\displaystyle -\frac{1}{8}\cos 4u+\frac{1}{4}\cos 2u}$ である。4区間で符号を交互に変えて代入すると$$I=4(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}+\frac{9}{16}+\frac{1}{16})=5$$を得る。

(問3)
$p(u)=\mathrm{\mid }\sin u-\sin 2u\mathrm{\mid }$ とおくと、$p$ は周期 $2\pi$ で一周期の積分が5である。したがって$${\int }_0^{2\pi }p(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{2n\pi }p(u)du=\frac{1}{n}\cdot n\cdot 5=5$$である。

(問4)
一周期平均と平均偏差の原始関数を$$\mu =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }p(u)du=\frac{5}{2\pi },H(v)={\int }_0^v\{p(u)-\mu \}du$$とおく。$p-\mu$ は一周期の積分が0なので、$H$ は周期 $2\pi$ の有界な関数である。よって$${\int }_0^{c}p(nx)dx=\mu c+\frac{H(nc)}{n}⟶\frac{5c}{2\pi }$$である。