熊本大学 2023年度 前期数学② 第4問

(問1)$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4tx(1-t{x}^2)e^{-t{x}^2}$$である。したがって臨界点は $$x=0,\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}$$ である。$e^{-t{x}^2}>0$ より符号を調べると，$x=0$ で極小値 $0$，$$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}$$ で極大値$$2t\cdot \frac{1}{t}{e}^{-1}=\frac{2}{e}$$をとる。

(問2)
$F(x)=2t{x}^2{e}^{-t{x}^2}$ とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=4tx(1-t{x}^2)e^{-t{x}^2}$$である。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{t}}4tx(1-t{x}^2)e^{-t{x}^2}\log xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t{x}^2{e}^{-t{x}^2}\log x]}_1^{\sqrt{t}}-{\int }_1^{\sqrt{t}}2tx{e}^{-t{x}^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2\log t{e}^{-t^2}-{[-e^{-t{x}^2}]}_1^{\sqrt{t}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2\log t+1)e^{-t^2}-e^{-t}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$g(t)=(t^2\log t+1)e^{-t^2}-e^{-t}$$である。

(問3)
示すべき不等式は$$t^2\log t+1>t^{\frac{5}{2}}-t^2+1$$と同値である。$$u=\sqrt{t}$$ とおくと $1<u<2$ であり，$$\varphi (u)=2\log u-u+1$$とおけば$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{2}{u}-1>0(1<u<2)$$である。また $\varphi (1)=0$ であるから，$1<u<2$ で $\varphi (u)>0$ である。すなわち$$\log t=2\log u>u-1=\sqrt{t}-1$$である。両辺に正の $t^2$ を掛けると$$t^2\log t>t^{\frac{5}{2}}-t^2$$となる。よって$$g(t)>(t^{\frac{5}{2}}-t^2+1)e^{-t^2}-e^{-t}$$が成り立つ。

$u=t{x}^2$ で指数関数の中身を新変数にし、$(u{e}^{-u}{)}^{\mathrm{\prime }}=(1-u)e^{-u}$ を使って積分する。不等式は $H(t)=\log t-\sqrt{t}+1$ の単調性を区間 $(1,4)$ で直接調べる。

(問1)
$u=t{x}^2\geqq 0$ とおけば $f(x)=2u{e}^{-u}$ である。$$\frac{d}{du}(2u{e}^{-u})=2(1-u)e^{-u}$$より、$u=0$ で極小値 $0$、$u=1$、すなわち$$x=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{t}$$ で極大値 $2\mathrm{/}e$ をとる。

(問2)
$u=t{x}^2$ とおくと、積分区間は $t\leqq u\leqq t^2$ となり$$\log x=\frac{1}{2}(\log u-\log t),du=2txdx$$である。したがって求める積分は$${\int }_t^{t^2}(1-u)e^{-u}(\log u-\log t)du$$となる。$(u{e}^{-u}{)}^{\mathrm{\prime }}=(1-u)e^{-u}$ を用いて部分積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(t)}& {\displaystyle ={[u{e}^{-u}(\log u-\log t)]}_t^{t^2}-{\int }_t^{t^2}{e}^{-u}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2\log t+1)e^{-t^2}-e^{-t}\mathrm{.}}\end{array}$$(問3)$$H(t)=\log t-\sqrt{t}+1$$ とおくと$$H^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{2\sqrt{t}}=\frac{2-\sqrt{t}}{2t}>0(1<t<4)\mathrm{.}$$$H(1)=0$ だから $$\log t>\sqrt{t}-1$$ である。これに正の $t^2{e}^{-t^2}$ を掛けて整理すれば$$g(t)>(t^{5\mathrm{/}2}-t^2+1)e^{-t^2}-e^{-t}$$を得る。