熊本大学 2021年度 前期数学③ 第4問

(問1)
$h(u)=\mathrm{\mid }\sin u-\sin 2u\mathrm{\mid }$ とする。$0\leqq u\leqq 2\pi$ で $$\sin u-\sin 2u=\sin u(1-2\cos u)$$ の零点は $0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3},2\pi$。符号に注意して積分すると$${\int }_0^{2\pi }h(u)du=5.$$よって $u=nx$ と周期性から$${\int }_0^{2\pi }\mathrm{\mid }\sin nx-\sin 2nx\mathrm{\mid }dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{2n\pi }h(u)du=5.$$(問2)
$nc=2\pi q_n+r_n$，$0\leqq r_n<2\pi$ とおくと$${\int }_0^{c}h(nx)dx=\frac{5q_n}{n}+\frac{1}{n}{\int }_0^{r_n}h(u)du\mathrm{.}$$余り部分は $0$ に近づき，$q_n\mathrm{/}n\to c\mathrm{/}(2\pi )$。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^c\mathrm{\mid }\sin nx-\sin 2nx\mathrm{\mid }dx=\frac{5c}{2\pi }\mathrm{.}$$

一周期の絶対値積分は和積公式で対称的に計算する。極限では一周期平均を引いた関数の原始関数を作り、その周期性と有界性から誤差が $O(1\mathrm{/}n)$ であることを示す。

(問1)
和積公式より$$\sin u-\sin 2u=-2\sin \frac{u}{2}\cos \frac{3u}{2}$$である。$0\leqq u\leqq 2\pi$ では $\sin (u\mathrm{/}2)\geqq 0$ なので、$v=u\mathrm{/}2$ と置くと一周期の積分は$$J=4{\int }_0^{\pi }\sin v\mathrm{\mid }\cos 3v\mathrm{\mid }dv$$となる。$\cos 3v$ の符号は $v=\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}2,5\pi \mathrm{/}6$ で切り替わり$$\int \sin v\cos 3vdv=-\frac{1}{8}\cos 4v+\frac{1}{4}\cos 2v$$である。4区間に分けて代入すると$$J=4(\frac{1}{16}+\frac{9}{16}+\frac{9}{16}+\frac{1}{16})=5$$を得る。$p(u)=\mathrm{\mid }\sin u-\sin 2u\mathrm{\mid }$ とおけば、$p$ は周期 $2\pi$ だから$${\int }_0^{2\pi }p(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{2n\pi }p(u)du=\frac{1}{n}\cdot nJ=5$$である。

(問2)
一周期平均は$$\mu =\frac{J}{2\pi }=\frac{5}{2\pi }$$である。ここで$$H(v)={\int }_0^v\{p(u)-\mu \}du$$とおく。被積分関数は周期 $2\pi$ で一周期の積分が0なので、$H$ も周期 $2\pi$ で有界である。したがって$${\int }_0^{c}p(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{nc}p(u)du=\mu c+\frac{H(nc)}{n}$$である。$H(nc)\mathrm{/}n\to 0$ より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^c\mathrm{\mid }\sin nx-\sin 2nx\mathrm{\mid }dx=\frac{5c}{2\pi }$$となる。