熊本大学 2026年度数学① 第4問｜問題・解答・解説

方針

絶対値の中身 $(x - 1) (x - 3)$ の符号で曲線を3区間に分ける。直線との交点は外側の放物線部分と内側の反転部分で別々に求め，最小・最大の交点には解と係数の関係を用いる。面積は直線が曲線以上にある区間を， $x = 1, 3$ で分けて定積分する。

解答

(問1)
$x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ であるから $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3 ∣ = {\begin{cases} x^{2} - 4 x + 3 & (x ≦ 1, 3 ≦ x), \\ - x^{2} + 4 x - 3 & (1 ≦ x ≦ 3) \end{cases}$ である。したがって $x ≦ 1$ と $x ≧ 3$ では上に開く放物線 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ， $1 ≦ x ≦ 3$ では下に開く放物線 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ の部分を描けばよい。特に $x = 1, 3$ で $x$ 軸と交わり， $x = 2$ で $y = 1$ となる。

(問2)
$x ≦ 1$ または $3 ≦ x$ では $x^{2} - 4 x + 3 = x - \frac{3}{4}$ すなわち $x^{2} - 5 x + \frac{15}{4} = 0$ である。この解は $x = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{2}$ であり，それぞれ $x ≦ 1$ ， $3 ≦ x$ の範囲に入る。

また， $1 ≦ x ≦ 3$ では $- x^{2} + 4 x - 3 = x - \frac{3}{4}$ すなわち ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = 0$ である。よって共有点は全部で $3$ 個である。

(問3)
(問2)より $α = \frac{5 - \sqrt{10}}{2}, β = \frac{5 + \sqrt{10}}{2}$ である。したがって $β + α = 5, β - α = \sqrt{10},$ より $β^{2} - α^{2} = (β - α) (β + α) = 5 \sqrt{10}$ である。また $α β = \frac{15}{4}$ であるから $β^{3} - α^{3} = (β - α) (β^{2} + α β + α^{2}) = \sqrt{10} {(α + β)^{2} - α β} = \frac{85 \sqrt{10}}{4}$ である。

(問4)
$α ≦ x ≦ β$ では直線 $ℓ$ は曲線 $C$ 以上にある。求める面積を $A$ とすると $\begin{aligned} A = & \int_{α}^{1} {x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3)} d x \\ + \int_{1}^{3} {x - \frac{3}{4} - (- x^{2} + 4 x - 3)} d x \\ + \int_{3}^{β} {x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3)} d x . \end{aligned}$ ここで $x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3) = - x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}$ は $α, β$ を根に持つので $\int_{α}^{β} (- x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}) d x = \frac{(β - α)^{3}}{6} = \frac{5 \sqrt{10}}{3}$ である。また $\int_{1}^{3} (- x^{2} + 5 x - \frac{15}{4}) d x = \frac{23}{6}, \int_{1}^{3} (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}) d x = \frac{7}{6}$ である。したがって $A = \frac{5 \sqrt{10}}{3} - \frac{23}{6} + \frac{7}{6} = \frac{5 \sqrt{10} - 8}{3}$ である。

別解

解法2（問4：反転前の放物線との差で補正）

方針

まず絶対値を外す前の放物線 $y = x^{2} - 4 x + 3$ と直線の間の面積を $[α, β]$ で一括計算する。その後， $1 < x < 3$ で放物線を $x$ 軸対称に折り返した分だけ補正する。

解答

(問4)
絶対値を外す前の放物線と直線との差を $d (x) = x - \frac{3}{4} - (x^{2} - 4 x + 3) = - (x - α) (x - β)$ とする。 $β - α = \sqrt{10}$ なので，放物線弓形の公式（または平行移動して積分）より $\int_{α}^{β} d (x) d x = \frac{(β - α)^{3}}{6} = \frac{5 \sqrt{10}}{3} .$ ただし $1 ≦ x ≦ 3$ では曲線が $x$ 軸対称に折り返される。実際の差と $d (x)$ の差は ${x - \frac{3}{4} - (- x^{2} + 4 x - 3)} - d (x) = 2 (x - 1) (x - 3)$ である。ゆえに求める面積は $\begin{aligned} A & = \frac{5 \sqrt{10}}{3} + \int_{1}^{3} 2 (x - 1) (x - 3) d x \\ = \frac{5 \sqrt{10}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{5 \sqrt{10} - 8}{3} . \end{aligned}$

総評

難度6，計算量7，想定時間22分。公式の出題意図は，絶対値の区間分け，共有点の判定，解と係数の関係，定積分による面積を一題で確認すること。中央の $x = 3 / 2$ は重解だが共有点は1個と数える。面積は3区間に分ける解法と，反転前の放物線から補正する別解を併記し，両者が $(5 \sqrt{10} - 8) / 3$ で一致することを検算した。公式略解の全数値と照合済み。

出典: 熊本大学令和8年度一般選抜（前期日程）数学1（公式問題・略解・出題意図）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

熊本大学 2026年度 前期数学① 第4問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

熊本大学 2026年度前期数学① 第4問