熊本大学 2024年度 前期数学② 第3問／数学③ 第2問

(問1)
$AC=x$とする。点$A$を原点、$AB$を$x$軸上に取ると$$B=(1,0),C=(x\cos 3\theta ,x\sin 3\theta )$$である。$D$は$BC$の中点なので$$D=(\frac{1+x\cos 3\theta }{2},\frac{x\sin 3\theta }{2})$$である。$\mathrm{\angle }BAD=2\theta$より$$\tan 2\theta =\frac{x\sin 3\theta }{1+x\cos 3\theta }$$である。したがって$$\sin 2\theta (1+x\cos 3\theta )=x\cos 2\theta \sin 3\theta$$であり、整理すると$$\sin 2\theta =x\sin \theta$$となる。$0<\theta <\pi \mathrm{/}3$より$\sin \theta >0$なので$$AC=x=2\cos \theta$$である。

(問2)
余弦定理より$$B{C}^2=1+(2\cos \theta {)}^2-2\cdot 1\cdot 2\cos \theta \cos 3\theta$$である。$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$を用いると$$B{C}^2=1+16{\cos }^2\theta -16{\cos }^4\theta$$である。したがって$$BC=\sqrt{1+16{\cos }^2\theta -16{\cos }^4\theta }$$である。

(問3)
$u={\cos }^2\theta$とおくと、$0<\theta <\pi \mathrm{/}3$より$1\mathrm{/}4<u<1$であり$$B{C}^2=-16u^2+16u+1$$である。この二次式は$u=1\mathrm{/}2$で最大となる。よって$$B{C}^2=5$$であり、最大値は$\sqrt{5}$である。このとき${\cos }^2\theta =1\mathrm{/}2$で、範囲より$$\theta =\frac{\pi }{4}$$である。

$BD=CD$を、$\mathrm{△}ABD$と$\mathrm{△}ACD$の正弦定理で表すと$AC$が直ちに決まる。続いて余弦定理で$B{C}^2$を求め、$u={\cos }^2\theta$について平方完成して最大値を読む。

(問1)
$\alpha =\mathrm{\angle }ADB$とおく。$B,D,C$は一直線上にあるから$\mathrm{\angle }ADC=\pi -\alpha$である。正弦定理より$$\mathrm{△}ABD:BD=\frac{\sin 2\theta }{\sin \alpha },$$$$\mathrm{△}ACD:CD=AC\frac{\sin \theta }{\sin (\pi -\alpha )}=AC\frac{\sin \theta }{\sin \alpha }\mathrm{.}$$$D$は$BC$の中点なので$BD=CD$である。したがって$$\sin 2\theta =AC\sin \theta \mathrm{.}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}3$より$\sin \theta >0$であり、$$AC=\frac{\sin 2\theta }{\sin \theta }=2\cos \theta \mathrm{.}$$(問2)
$\mathrm{\angle }BAC=3\theta$なので余弦定理から$$B{C}^2=1+4{\cos }^2\theta -4\cos \theta \cos 3\theta \mathrm{.}$$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$を代入し、$$BC=\sqrt{1+16{\cos }^2\theta -16{\cos }^4\theta }\mathrm{.}$$(問3)
$u={\cos }^2\theta$とすると$1\mathrm{/}4<u<1$であり、$$B{C}^2=1+16u-16u^2=5-16{(u-\frac{1}{2})}^2\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}2$は範囲内にあるから、最大値は$B{C}^2=5$、すなわち$$B{C}_{\max }=\sqrt{5}\mathrm{.}$$このとき${\cos }^2\theta =1\mathrm{/}2$で、指定範囲より$$\theta =\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$