京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

最初の回では、あらかじめ作った3つの隣接ペアがそれぞれジャンケンをする。各ペアは、勝った人の色にそろうので、回の後には各ペアが赤または白の同色2人組になる。各ペアが赤になる確率、白になる確率はいずれも $1\mathrm{/}2$ であり、3組について独立に考えられる。

3組がすべて赤、またはすべて白になれば、6人全員が同色となって終了する。その確率は $$2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。
逆に1回で終了しないとき、3つの2人組の色は全て同じではない。2色しかないので、ある色の2人組が1つ、もう一方の色の2人組が2つである。円周上では後者の2組がつながって見えるため、帽子の並びは $2\text{人連続の色のブロックと、}4\text{人連続の色のブロック}$ という型になる。

この型の状態を考える。異なる色が隣り合う境目は2か所だけなので、次の回に行われるジャンケンはその2か所である。2人連続の色の側にいる2人が、どちらの境目でも負けると、その2人が相手の色に変わり、6人全員が同色になって終了する。この確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。
それ以外の場合は、2人連続の色が残るか、または反対の色が2人連続として残るだけで、やはり $2\text{人連続と}4\text{人連続}$ の型に戻る。したがって、まだ終了していない状態から次の1回で終了しない確率は常に ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。

初回についても、終了しない確率は $3\mathrm{/}4$ である。よって $n$ 回までに終了しない確率は ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$ である。したがって、求める確率は $$1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n(n=1,2,3,\cdots )$$ である。
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$q_n$ を $n$ 回終了時にまだゲームが続いている確率とする。
未終了時の帽子配置が常に2人・4人の2ブロック型であることから、$q_{n+1}=3q_n\mathrm{/}4$ を示す。

初回後、3つのペアはそれぞれ独立に赤または白へそろう。全3組が同色になる確率は$$2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$したがって $q_1=3\mathrm{/}4$ である。

初回で終わらなければ、円周上の配置は一方の色が2人連続、他方が4人連続の2ブロック型になる。
この型では色の境界が2か所あり、2人ブロック側の2人がともに負けたときだけ次の回で終了する。その確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$それ以外は色が入れ替わる場合を含め、再び同じ2ブロック型になる。よって$$q_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}{q}_n\mathrm{.}$$初期値と合わせて $q_n=(3\mathrm{/}4{)}^n$ だから、$n$ 回までに終了する確率は$$1-q_n=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\mathrm{.}$$