方針
直線の傾きを m と置き、放物線との交点の x 座標を二次方程式の2根として扱う。根の差に直線方向の倍率 1+m2 を掛けて PQ を表し、その平方を最小化する。微分でもよいが、m−1 に置き換えると平方完成型で最小値が一気に分かる。
解答
点 (4,5) を通る傾き m の直線は y−5=m(x−4) である。放物線 y=41x2 との交点の x 座標は 41x2=m(x−4)+5 すなわち x2−4mx+16m−20=0 の2根である。2根を α,β とすると、判別式から ∣α−β∣=16m2−4(16m−20)=4(m−2)2+1 である。この判別式は常に正なので、どの m についても交点は2点である。
直線上で x 座標が α から β まで変わると、y 座標の変化は m(β−α) である。したがって PQ=∣α−β∣1+m2=4(1+m2){(m−2)2+1} となる。
よって F(m)=(1+m2){(m−2)2+1} の最小値を求めればよい。
微分すると F′(m)=4(m−1)3 である。したがって m<1 で F′(m)<0、m>1 で F′(m)>0 となり、F(m) は m=1 で最小になる。このとき F(1)=4 だから PQmin=44=8 である。
したがって、求める直線の傾きは 1 であり、そのときの線分 PQ の長さは 8 である。
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別解
解法2（平方完成だけで最小化する）
方針
交点間距離の平方を傾き m の式にした後、t=m−1 と置く。
4次式が t4+4 に簡約されるため、微分なしで最小値を決める。
解答
傾き m の直線と放物線の交点の x 座標を α,β とすると∣α−β∣=4(m−2)2+1.直線方向の倍率を掛ければPQ2=16(1+m2){(m−2)2+1}.t=m−1 と置くと(1+m2){(m−2)2+1}=(t2+2t+2)(t2−2t+2)=t4+4.よって最小値は t=0、すなわち m=1 のときに生じPQmin=44=8.
総評
交点の根の差を距離に変換して最小化する問題。目安時間は16分。根の差だけで PQ としてしまわず、直線方向の倍率 1+m2 を掛ける点が重要である。最小化は微分で処理できるが、m−1 に置き換えると t4+4 まで整理でき、計算の見通しがよい。
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冊子PDFで見る京大の微分の問題で問題集を作る
出典: 京都大学 1981年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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