京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

点 $P$ の x 座標を $p$ とする。$P$ は原点でないから $p\mathrm{\ne }0$ である。曲線は$$y=x^3-x$$であり、導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1$ である。したがって $P$ における接線は$$y=(3p^2-1)(x-p)+(p^3-p)=(3p^2-1)x-2p^3\mathrm{.}$$曲線との交点の x 座標は$$x^3-3p^{2}x+2p^3=0$$を満たす。この左辺は$$(x-p{)}^2(x+2p)$$と因数分解できる。$x=p$ は接点 $P$ に対応し、もう一つの交点は $x=-2p$ である。$p\mathrm{\ne }0$ より $-2p\mathrm{\ne }p$ なので、接線は $P$ と異なる点 $Q$ で曲線と交わる。

(2)

曲線の y 座標から接線の y 座標を引くと$$(x-p{)}^2(x+2p)$$である。まず $p>0$ とする。この式は $-2p\leqq x\leqq p$ で非負なので、$Q$ 側の面積 $S_Q$ と $P$ 側の面積 $S_P$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_Q}& {\displaystyle ={\int }_{-2p}^0(x-p{)}^2(x+2p)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p^4{\int }_{-2}^0(u-1{)}^2(u+2)du=6p^4,}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_P}& {\displaystyle ={\int }_0^p(x-p{)}^2(x+2p)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p^4{\int }_0^1(u-1{)}^2(u+2)du={\displaystyle \frac{3}{4}}{p}^4\mathrm{.}}\end{array}$$ここでは $x=pu$ と置いた。よって$$S_Q:S_P=6:{\displaystyle \frac{3}{4}}=8:1.$$$p<0$ では図の左右が入れ替わるが、$Q$ 側と $P$ 側の比は変わらない。したがって$$Q\text{ 側}:P\text{ 側}=8:1$$である。

接線を基準線とし、横座標を $u={\displaystyle \frac{x}{p}}$、縦の差を $p^3$ で割る。接点の位置や曲線の線形項に依存しない標準形 $(u-1{)}^2(u+2)$ が得られるので、左右の面積比を一度だけ計算する。

(1)

接線を$$L(x)=(3p^2-1)(x-p)+(p^3-p)$$と書く。直接整理すると$$(x^3-x)-L(x)=(x-p{)}^2(x+2p)$$である。したがって接点 $x=p$ は2重解で、ほかの交点は $x=-2p$ である。$p\mathrm{\ne }0$ より、これは $P$ と異なる点 $Q$ を与える。

(2)

$p>0$ として$$u={\displaystyle \frac{x}{p}},v={\displaystyle \frac{(x^3-x)-L(x)}{p^3}}$$と置くと$$v=(u-1{)}^2(u+2)\mathrm{.}$$この規格化によって $Q$ は $u=-2$、y軸は $u=0$、$P$ は $u=1$ に移る。また面積は両側とも共通に $p^4$ 倍されるので、比には影響しない。

展開式$$(u-1{)}^2(u+2)=u^3-3u+2$$を用いると$${\int }_{-2}^0(u^3-3u+2)du=6,$$$${\int }_0^1(u^3-3u+2)du={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$よって $Q$ 側と $P$ 側の面積比は$$6:{\displaystyle \frac{3}{4}}=8:1$$である。$p<0$ の場合も向きが反転するだけなので、同じ結論になる。