京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2-2x$$を積分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-x^2+C\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ より $C=0$ である。さらに積分して $f(0)=0$ を使うと$$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\mathrm{.}$$(2)
接点の $x$ 座標を $\alpha \geqq 0$ とする。接線が $(-1,0)$ を通る条件は$$f(\alpha )=(\alpha +1)f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\mathrm{.}$$代入して整理すると$${\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}({\alpha }^2-3)=0.$$$\alpha =0$ では接線の傾きが0になるので除き$$\alpha =\sqrt{3}\mathrm{.}$$このとき接線の傾きは$$m=f^{\mathrm{\prime }}(\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3$$で、接線 $T$ は $y=m(x+1)$ である。

求める面積を $K$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle K=}& {\displaystyle {\int }_{-1}^{0}m(x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{\sqrt{3}}\{m(x+1)-x^2+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$まとめて計算すれば$$K={\displaystyle \frac{m(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}}-{\int }_0^{\sqrt{3}}(x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}})dx\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{m(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}}=\sqrt{3},$$また$${\int }_0^{\sqrt{3}}(x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}})dx=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$K={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$色部分は「接線下の三角形」から曲線下を除いた領域

整式の係数比較で $f$ を決める。接点条件を解いた後、求める領域を接線の下にできる三角形から曲線下の面積を引く形で一度に計算する。

(1)
$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2-2x$ だから、$f$ は3次以下である。$$f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$$とおくと$$6Ax+2B=2-2x\mathrm{.}$$よって$$A=-{\displaystyle \frac{1}{3}},B=1.$$また $f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ から $C=D=0$ であり$$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\mathrm{.}$$(2)
接点を $(\alpha ,f(\alpha ))$ とする。接線 $T$ は $(-1,0)$ を通るので$${\displaystyle \frac{f(\alpha )}{\alpha +1}}=f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\mathrm{.}$$これを解くと$$\alpha =0,\sqrt{3}\mathrm{.}$$傾き0の接線を除くから $\alpha =\sqrt{3}$ である。

接線と $x$ 軸でできる三角形の底辺は $\alpha +1$、高さは $f(\alpha )$ である。したがって求める面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha +1)f(\alpha )-{\int }_0^{\alpha }f(x)dx\mathrm{.}$$$\alpha =\sqrt{3}$ を代入すると、第一項は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{3}+1)(3-\sqrt{3})=\sqrt{3},$$第二項は$${[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^4}{12}}]}_0^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$よって求める面積は$$\sqrt{3}-(\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3}{4}})={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$