京都大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

水面の高さが $x$ のとき、水面半径は相似より$$r={\displaystyle \frac{R}{h}}x\mathrm{.}$$したがって残っている水量は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}x={\displaystyle \frac{\pi R^2}{3h^2}}{x}^3\mathrm{.}$$管から単位時間に流出する水量は$$Sv=Skx$$である。残水量は減るので$${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=-Skx\mathrm{.}$$一方$${\displaystyle \frac{dV}{dt}}={\displaystyle \frac{\pi R^2}{h^2}}{x}^2{\displaystyle \frac{dx}{dt}}\mathrm{.}$$容器が空になる前は $x>0$ だから$$x{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-{\displaystyle \frac{Sk{h}^2}{\pi R^2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{d}{dt}}(x^2)=-{\displaystyle \frac{2Sk{h}^2}{\pi R^2}}\mathrm{.}$$初期条件 $x(0)=h$ を用いると$$x^2=h^2-{\displaystyle \frac{2Sk{h}^2}{\pi R^2}}t\mathrm{.}$$したがって$$x(t)=h\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2Sk}{\pi R^2}}t}\mathrm{.}$$平方根の中が0になる時刻までなので$$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi R^2}{2Sk}}\mathrm{.}$$相似により水面半径は $Rx\mathrm{/}h$

高さが $s$ のときの水平断面積を求める。水面が微小量下がるのに必要な流出時間を、水層の体積をその時点の流量で割って表し、高さ $h$ から $x$ まで積分する。

水面の高さが $s$ のとき、水平断面積は$$A(s)=\pi {\left({\displaystyle \frac{R}{h}}s\right)}^2={\displaystyle \frac{\pi R^2}{h^2}}{s}^2\mathrm{.}$$水面が高さ $s$ から微小量だけ下がるとき、流出する薄い水層の体積を、そのときの流量 $Sks$ で割れば所要時間が得られる。したがって、水面が $h$ から $x$ まで下がる時間は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t}& {\displaystyle ={\int }_x^h{\displaystyle \frac{A(s)}{Sks}}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi R^2}{Sk{h}^2}}{\int }_x^{h}sds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi R^2}{2Sk{h}^2}}(h^2-x^2)\mathrm{.}}\end{array}$$これを $x$ について解くと$$x(t)=h\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2Sk}{\pi R^2}}t}\mathrm{.}$$また $x=0$ となる時刻は $\pi R^2\mathrm{/}(2Sk)$ だから、範囲は$$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi R^2}{2Sk}}$$である。