京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$x>1$ のときは $x^{m+1}-1>0$ である。したがって、仮定の不等式から $$k\geqq {\displaystyle \frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}}$$ を得る。
一方、$0<x<1$ のときは $x^{m+1}-1<0$ である。負の数で割るので不等号の向きが変わり、$$k\leqq {\displaystyle \frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}}$$ となる。

ここで $x\mathrm{\ne }1$ のとき $$x^m-1=(x-1)(1+x+\cdots +x^{m-1}),$$ $$x^{m+1}-1=(x-1)(1+x+\cdots +x^m)$$ であるから、$${\displaystyle \frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}}={\displaystyle \frac{1+x+\cdots +x^{m-1}}{1+x+\cdots +x^m}}$$ である。
この右辺は $x=1$ の近くでも分母が $0$ にならず、$x$ を $1$ に近づけると $${\displaystyle \frac{1+1+\cdots +1}{1+1+\cdots +1}}={\displaystyle \frac{m}{m+1}}$$ に近づく。

したがって、$x>1$ から $1$ に近づけると $$k\geqq {\displaystyle \frac{m}{m+1}}$$ であり、$0<x<1$ から $1$ に近づけると $$k\leqq {\displaystyle \frac{m}{m+1}}$$ である。両方を合わせて $$k={\displaystyle \frac{m}{m+1}}$$ が従う。
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左辺から右辺を引いた関数を $g(x)$ と置く。仮定より $g(x)\leqq 0$ で、
$g(1)=0$ だから、定義域の内部点 $x=1$ で最大となる。必要条件 $g^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ を使う。

$$g(x)=x^m-1-k(x^{m+1}-1)$$と置く。仮定より $x>0$ で常に $g(x)\leqq 0$ であり、$g(1)=0$ である。
したがって $g$ は定義域の内部点 $x=1$ で最大値0をとる。よって$$g^{\mathrm{\prime }}(1)=0.$$一方$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=m{x}^{m-1}-k(m+1)x^m$$だから$$m-k(m+1)=0.$$したがって$$k={\displaystyle \frac{m}{m+1}}\mathrm{.}$$