京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

やめるまでに引く回数を $T$ とする。$j$ 回目のおみくじを実際に引くためには、最初の $j-1$ 回で大吉が出ていないことが必要十分である。したがって $$\mathrm{Pr}(T\geqq j)=(1-p{)}^{j-1}(1\leqq j\leqq N)$$ である。

回数 $T$ は、実際に引いた各回を1ずつ数えたものだから、期待値は$$E=\sum _{j=1}^N\mathrm{Pr}(T\geqq j)$$で求められる。よって$$E=\sum _{j=1}^N(1-p{)}^{j-1}={\displaystyle \frac{1-(1-p{)}^N}{1-(1-p)}}={\displaystyle \frac{1-(1-p{)}^N}{p}}$$である。 $p={\displaystyle \frac{1}{5}}$, $N=10$ のとき$$E={\displaystyle \frac{1-(4\mathrm{/}5{)}^{10}}{1\mathrm{/}5}}=5\{1-{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{10}\}$$である。数値を計算すると $${\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{10}=0.1073741824$$ であるから $$E=5(1-0.1073741824)=4.463129088$$ となる。したがって小数第2位までで $E=4.46$ である。
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$T$ をやめる回数とし、$1\leqq j<N$ と $j=N$ を分けて確率分布を書く。
最後の打ち切りを含めた期待値を有限等比和の微分公式で整理する。

$q=1-p$ と置く。$1\leqq j\leqq N-1$ では$$\mathrm{Pr}(T=j)=q^{j-1}p\mathrm{.}$$$N$ 回目は、その回に大吉が出る場合と最後まで出ない場合を合わせて$$\mathrm{Pr}(T=N)=q^{N-1}p+q^N=q^{N-1}\mathrm{.}$$したがって$$E=p\sum _{j=1}^{N-1}j{q}^{j-1}+N{q}^{N-1}\mathrm{.}$$有限等比和を $q$ で微分すると$$\sum _{j=1}^{N-1}j{q}^{j-1}={\displaystyle \frac{1-N{q}^{N-1}+(N-1)q^N}{(1-q{)}^2}}\mathrm{.}$$$p=1-q$ を代入して整理すれば$$E={\displaystyle \frac{1-q^N}{1-q}}={\displaystyle \frac{1-(1-p{)}^N}{p}}\mathrm{.}$$$p=1\mathrm{/}5,N=10$ では$$E=5\{1-{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{10}\}=4.463129088\cdots ,$$よって小数第2位までで $4.46$ である。