京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

白線に達するには東へ5回進む必要があるので、到達した最後の一投は5回目の表である。$A$ から北へ $n$ m の点に着くには、その最後の一投より前に、表が4回、裏が $n$ 回出ていればよい。

最初の $n+4$ 回における表4回の位置の選び方は ${}_{n+4}{\mathrm{C}}_4$ 通りで、全投数は $n+5$ 回である。したがって$$p_n={}_{n+4}{\mathrm{C}}_4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+5}(n=0,1,2,\dots )\mathrm{.}$$(2)

隣接項の比は$${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}={\displaystyle \frac{{}_{n+5}{\mathrm{C}}_4}{{}_{n+4}{\mathrm{C}}_4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{n+5}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}\{\begin{array}{ll}>1& (n<3),\\ =1& (n=3),\\ <1& (n>3)\mathrm{.}\end{array}$$したがって $$p_0<p_1<p_2<p_3=p_4>p_5>\cdots$$ である。求める $n$ は$$n=3,4$$である。

高さ $n$ に到達する投げ方に裏を1回挿入し、高さ $n+1$ の投げ方を作る。挿入位置と、逆に削除できる裏の選び方を二重に数えて、$p_{n+1}\mathrm{/}{p}_n$ の漸化式を得る。初項から一般項を復元し、そのまま最大値も判定する。

(1)

最後の表を除いた投げ方の集合を $E_n$ とする。$E_n$ の各列は表4回、裏 $n$ 回からなり、長さは $n+4$ である。

$E_n$ の列に裏を1回挿入して $E_{n+1}$ の列を作るとき、挿入位置は $n+5$ か所ある。一方、出来上がった $E_{n+1}$ の各列には裏が $n+1$ 回あり、そのどれを削除したかによって同じ列が $n+1$ 回ずつ数えられる。よって列の個数を $N_n$ とすると$$(n+5)N_n=(n+1)N_{n+1}\mathrm{.}$$投数が1回増えると各列の確率はさらに ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 倍になるから$${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}={\displaystyle \frac{n+5}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$$p_0=2^{-5}$ なので、この関係を順に用いると$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2^5}}\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot 6\cdots (n+4)}{2^{n}n!}}={}_{n+4}{\mathrm{C}}_4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n+5}\mathrm{.}$$(2)

上の隣接項比から$$p_{n+1}-p_n=p_n\{{\displaystyle \frac{n+5}{2(n+1)}}-1\}=p_n{\displaystyle \frac{3-n}{2(n+1)}}\mathrm{.}$$この差は $n<3$ で正、$n=3$ で0、$n>3$ で負である。したがって最大を与えるのは$$n=3,4$$である。