京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $\sin (x+2\pi )=\sin x$ であるから、$$2^{\sin (x+2\pi )}=2^{\sin x}$$ となり、$2\pi$ は周期である。

次に最小性を調べる。正の数 $c$ が周期であると仮定する。$x=0$ を代入すると $2^{\sin c}=2^0=1$ である。関数 $2^u$ は $u$ に対して同じ値を二度取らないので $\sin c=0$ である。したがって $c=m\pi$ となる整数 $m$ が存在する。

ここで $m$ が奇数なら、$x=\pi \mathrm{/}2$ を代入して $$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi )=-1$$ となるから $$2^{\sin (\pi \mathrm{/}2+m\pi )}=2^{-1}\mathrm{\ne }2=2^{\sin (\pi \mathrm{/}2)}$$ であり、周期ではない。偶数倍の $\pi$ は周期であるので、正の最小周期は $2\pi$ である。

(2)
同じく $\sin (x+2\pi )=\sin x$ より $$\sin (\sin (x+2\pi ))=\sin (\sin x)$$ である。よって $2\pi$ は周期である。

正の数 $c$ が周期であるとする。$x=0$ を代入すると $\sin (\sin c)=0$ を得る。ここで $-1\leqq \sin c\leqq 1$ であり、この範囲で $\sin u=0$ となるのは $u=0$ だけである。したがって $\sin c=0$ となり、$c=m\pi$ と表せる。

しかし $m$ が奇数なら $$\sin (\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi ))=\sin (-1)$$ であり、$$\sin (-1)\mathrm{\ne }\sin 1=\sin (\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ だから周期ではない。したがって正の周期は $2\pi ,4\pi ,\dots$ に限られ、最小周期は $2\pi$ である。

$\pi$ では内側の正弦が反転し、$2\pi$ で一致する

外側の関数が問題の値域で一対一であることを使い、
周期条件を $\sin (x+c)=\sin x$ へ戻す。
加法定理から、全ての $x$ で成り立つには
$\sin (c\mathrm{/}2)=0$ が必要である。

(1)
$2^u$ は実数全体で一対一である。したがって正の数 $c$ が
周期なら$$\sin (x+c)=\sin x$$が全ての $x$ で成り立つ。差を取ると$$2\sin {\displaystyle \frac{c}{2}}\cos (x+{\displaystyle \frac{c}{2}})=0.$$これは全ての $x$ で成り立つので
$\sin (c\mathrm{/}2)=0$、すなわち $c=2m\pi$ である。
実際 $2\pi$ は周期だから、最小周期は$$2\pi \mathrm{.}$$(2)
$\sin x\in [-1,1]$ であり、$\sin u$ はこの区間で一対一である。
よって周期条件から再び$$\sin (x+c)=\sin x$$を得る。上と同じ計算により $c$ は $2\pi$ の正の整数倍で
なければならない。したがって最小周期は$$2\pi$$である。