京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\sin (x+2\pi )=\sin x$ であるから $$\sin (\sin (x+2\pi ))=\sin (\sin x)$$ であり、$2\pi$ は周期である。

正の数 $c$ が周期であるとする。$x=0$ を代入すると $\sin (\sin c)=0$ である。ここで $-1\leqq \sin c\leqq 1$ であり、この範囲で $\sin u=0$ となるのは $u=0$ だけである。したがって $\sin c=0$ となり、$c=m\pi$ と表せる。

もし $m$ が奇数なら、$$\sin (\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+m\pi ))=\sin (-1)$$ であるが、$$\sin (-1)\mathrm{\ne }\sin 1=\sin (\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ なので周期ではない。よって最小周期は $2\pi$ である。

(2) $\sin (x+\pi )=-\sin x$ であり、$\cos u$ は偶関数であるから $$\cos (\sin (x+\pi ))=\cos (-\sin x)=\cos (\sin x)$$ である。したがって $\pi$ は周期である。

正の数 $c$ が周期であるとする。$x=0$ を代入すると $\cos (\sin c)=1$ である。 $-1\leqq \sin c\leqq 1$ の範囲で $\cos u=1$ となるのは $u=0$ だけなので、$\sin c=0$ である。したがって $c=m\pi$ と表される。すでに $\pi$ が周期であることを示しているので、正の最小周期は $\pi$ である。

(3) $f(x)=\sin (x^3)$ が周期関数であると仮定し、その正の周期を $c$ とする。すべての $x$ について $f(x+c)=f(x)$ が成り立つので、両辺を微分して $f^{\mathrm{\prime }}(x+c)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を得る。つまり $f^{\mathrm{\prime }}$ も周期 $c$ をもつ。

また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\cos (x^3)$ である。周期 $c$ をもつ連続関数は、区間 $[0,c]$ での最大値と最小値の間の値しか取らないので、全体で有界である。

ところが $$x_n=(2n\pi {)}^{1\mathrm{/}3}(n=1,2,3,\dots )$$ とおくと、$$\cos (x_n^3)=\cos (2n\pi )=1$$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x_n)=3x_n^2=3(2n\pi {)}^{2\mathrm{/}3}$$ となり、これは $n$ を大きくするといくらでも大きくなる。これは $f^{\mathrm{\prime }}$ が有界であることに反する。

したがって $\sin (x^3)\text{ は周期関数ではない}$ である。

外側の偶奇性と、内側の位相の増え方が周期を決める

(1) は外側の正弦の一対一性、(2)は
$\cos u$ が $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ だけで決まることから、内側の正弦へ戻す。
(3)は周期なら導関数も周期で有界になることと、導関数が
特定の点列で無限に大きくなることを比較する。

(1)
$\sin u$ は $[-1,1]$ で一対一なので、周期 $c>0$ があれば$$\sin (x+c)=\sin x$$が全ての $x$ で成り立つ。よって
$\sin (c\mathrm{/}2)=0$ であり、最小周期は$$2\pi \mathrm{.}$$(2)$$\cos (\sin (x+\pi ))=\cos (-\sin x)=\cos (\sin x)$$だから $\pi$ は周期である。逆に周期 $c>0$ なら
$x=0$ から $\cos (\sin c)=1$、したがって $\sin c=0$。
よって最小周期は$$\pi \mathrm{.}$$(3)
もし $\sin (x^3)$ が周期関数なら、その導関数$$3x^2\cos (x^3)$$も連続な周期関数なので有界である。しかし$$x_n=(2n\pi {)}^{1\mathrm{/}3}$$とおけば導関数の値は$$3(2n\pi {)}^{2\mathrm{/}3}\to \mathrm{\infty }\mathrm{.}$$矛盾するので $\sin (x^3)$ は周期関数ではない。