京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$C$ 上の点は $$(x,y)=(x,{\displaystyle \frac{1}{x}})(x\mathrm{\ne }0)$$ と表せる。この点を与えられた一次変換で移した後の座標を $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ とすると、$$x^{\mathrm{\prime }}=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}},y^{\mathrm{\prime }}=cx+{\displaystyle \frac{d}{x}}$$ である。

まず、$C$ が $C$ の中へ移るためには、すべての $x\mathrm{\ne }0$ について $x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}=1$ でなければならない。実際に積を計算すると$$x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}=(ax+{\displaystyle \frac{b}{x}})(cx+{\displaystyle \frac{d}{x}})=ac{x}^2+ad+bc+{\displaystyle \frac{bd}{x^2}}$$である。これが常に $1$ に等しいので、$x^2$ の項、$1\mathrm{/}{x}^2$ の項、定数項を比べて $$ac=0,bd=0,ad+bc=1$$ を得る。

この3条件を満たす形を調べる。$ac=0,bd=0$ から、$a,c$ の少なくとも一方、$b,d$ の少なくとも一方が $0$ である。もし $a=b=0$ または $c=d=0$ なら $ad+bc=0$ となり不適である。したがって残る可能性は $b=c=0,ad=1$ または $a=d=0,bc=1$ の2通りである。

次に十分性を確認する。$b=c=0,ad=1$ のときは $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(ax,dy)$ であり、$xy=1$ なら $x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}=adxy=1$ である。また $C$ 上の任意の点 $(X,Y)$ に対して $$x={\displaystyle \frac{X}{a}},y={\displaystyle \frac{Y}{d}}$$ とすれば $xy=XY\mathrm{/}(ad)=1$ であり、その点から $(X,Y)$ が得られる。 $a=d=0,bc=1$ のときは $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(by,cx)$ であり、同じく $x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}=bcxy=1$ である。任意の $(X,Y)\in C$ に対しては $$y={\displaystyle \frac{X}{b}},x={\displaystyle \frac{Y}{c}}$$ とすれば $xy=XY\mathrm{/}(bc)=1$ であるから、やはり $C$ 全体が得られる。

よって必要十分条件は $b=c=0,ad=1$ または $a=d=0,bc=1$ である。

双曲線上の全点を保つ線形変換は、2つの型に限られる

双曲線上の点 $(t,1\mathrm{/}t)$ を写し、$t\to \mathrm{\infty }$ と
$t\to 0$ で積が1のまま有界であることから $ac=bd=0$ を得る。
その後 $t=1$ で定数項を決め、零成分の組合せを分類する。

$C$ 上の点 $(t,1\mathrm{/}t)$ の像は$$x^{\mathrm{\prime }}=at+{\displaystyle \frac{b}{t}},y^{\mathrm{\prime }}=ct+{\displaystyle \frac{d}{t}}\mathrm{.}$$$C$ が自身へ写るなら$$x^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}=ac{t}^2+ad+bc+{\displaystyle \frac{bd}{t^2}}=1$$が全ての $t\mathrm{\ne }0$ で成り立つ。$t\to \mathrm{\infty }$ でも左辺が
1のままなので $ac=0$、$t\to 0$ から $bd=0$ である。
よって$$ad+bc=1.$$零成分を分類すると$$b=c=0,ad=1$$または$$a=d=0,bc=1$$の2通りだけが残る。

前者は $(x,y)\mapsto (ax,dy)$、後者は
$(x,y)\mapsto (by,cx)$ であり、どちらも座標の積を保つ。
また係数は0でないので逆向きにも任意の $C$ 上の点を得られる。
したがって上の2条件が必要十分条件である。