京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $F(x)=f(x)-x$ とおく。条件 (ロ) より $$a\leqq f(a)\leqq b,a\leqq f(b)\leqq b$$ であるから、特に $F(a)=f(a)-a\geqq 0$ かつ $F(b)=f(b)-b\leqq 0$ である。

関数 $f$ は連続なので $F$ も連続である。したがって中間値の定理により、$F(c_0)=0$ となる $c_0\in [a,b]$ が存在する。これは $f(c_0)=c_0$ を意味する。

次に一意性を示す。$c,d\in [a,b]$ がともに $f(c)=c,f(d)=d$ を満たすとする。平均値の定理と条件 (ハ) より $$\mathrm{\mid }c-d\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(c)-f(d)\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }c-d\mathrm{\mid }$$ である。ここで $0\leqq k<1$ だから、もし $\mathrm{\mid }c-d\mathrm{\mid }>0$ なら両辺を $\mathrm{\mid }c-d\mathrm{\mid }$ で割って $1\leqq k$ となり矛盾する。よって $c=d$ である。したがって $f(c_0)=c_0$ を満たす値は区間 $[a,b]$ にただ1つ存在する。

(2)
まず $d_0\in [a,b]$ であり、条件 (ロ) によって $f$ は区間 $[a,b]$ の値を再び $[a,b]$ に入れる。したがって $$d_1=f(d_0),d_2=f(d_1),\dots$$ はすべて $[a,b]$ に属する。

また $c_0=f(c_0)$ であるから、平均値の定理と条件 (ハ) より $$\mathrm{\mid }{d}_{n+1}-c_0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(d_n)-f(c_0)\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }{d}_n-c_0\mathrm{\mid }$$ が成り立つ。

これを順に用いると $$\mathrm{\mid }{d}_1-c_0\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid },$$ $$\mathrm{\mid }{d}_2-c_0\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }{d}_1-c_0\mathrm{\mid }\leqq k^2\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid }$$ となる。同様に繰り返せば、すべての $n=1,2,\dots$ について $$\mathrm{\mid }{d}_n-c_0\mathrm{\mid }\leqq k^n\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid }$$ を得る。

反復するたびに誤差が等比数列的に縮む

$F(x)=f(x)-x$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-1<0$ なので
$F$ は狭義減少する。端点の符号と合わせて固定点の存在・一意性を
一度に示す。反復誤差は1段の評価を数学的帰納法で累積する。

(1)
$F(x)=f(x)-x$ とおく。条件(ロ)より$$F(a)\geqq 0,F(b)\leqq 0.$$$F$ は連続だから、中間値の定理により $F(c_0)=0$ となる
$c_0\in [a,b]$ が存在する。一方$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-1\leqq k-1<0$$なので $F$ は狭義減少する。したがって零点は1個だけである。

(2)
条件(ロ)により全ての $d_n$ は $[a,b]$ に属する。
平均値の定理から$$\mathrm{\mid }{d}_{n+1}-c_0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(d_n)-f(c_0)\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }{d}_n-c_0\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$n=1$ では$$\mathrm{\mid }{d}_1-c_0\mathrm{\mid }\leqq k\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$n$ で$$\mathrm{\mid }{d}_n-c_0\mathrm{\mid }\leqq k^n\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid }$$と仮定すれば、上の1段評価により $n+1$ でも成り立つ。
よって数学的帰納法から$$\mathrm{\mid }{d}_n-c_0\mathrm{\mid }\leqq k^n\mathrm{\mid }{d}_0-c_0\mathrm{\mid }$$が全ての正の整数 $n$ で成り立つ。