京都大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(i) $b^2-c<0$ より $$d=\sqrt{c-b^2}>0$$ とおくと、2根は $$\alpha =-b+di,\beta =-b-di$$ である。

任意の複素数を $\gamma =X+Yi$ と書く。実数 $t,u$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle t\alpha +u\beta }& {\displaystyle =t(-b+di)+u(-b-di)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-b(t+u)+d(t-u)i}\end{array}$$である。したがって $$-b(t+u)=X,d(t-u)=Y$$ を満たすように $t,u$ を選べばよい。$b\mathrm{\ne }0$ かつ $d>0$ だから $$t+u=-{\displaystyle \frac{X}{b}},t-u={\displaystyle \frac{Y}{d}}$$ を満たす実数 $t,u$ は存在する。実際、$$t={\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{X}{b}}+{\displaystyle \frac{Y}{d}}),u={\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{X}{b}}-{\displaystyle \frac{Y}{d}})$$とすればよい。よって任意の複素数 $\gamma$ は $\gamma =t\alpha +u\beta$ と表される。

(ii) $$W=\{t\alpha +u\beta \mid t,u\text{ は実数}\}$$ とおく。条件(*)は、$f(x)=0$ の根が $W$ に1つも入らないことと同じである。

まず $c\leqq b^2$ の場合を考える。このとき $\alpha ,\beta$ は実数である。$(b,c)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら $\alpha ,\beta$ の少なくとも一方は0でないので、$W$ は実数全体である。したがって条件(*)は、実係数2次式 $f(x)=x^2+2(b-1)x+5-c$ が実数解をもたないことと同値である。その条件は判別式より $\{2(b-1){\}}^2-4(5-c)<0$ すなわち $b^2-2b+c-4<0$ である。これは $c<-b^2+2b+4$ と書ける。

なお $(b,c)=(0,0)$ のときは $\alpha =\beta =0$ なので $W=\{0\}$ であるが、$f(0)=5\mathrm{\ne }0$ であり、条件(*)を満たす。この点も後で述べる $b=0,c\mathrm{\ne }5$ に含まれる。

次に $c>b^2,b\mathrm{\ne }0$ の場合を考える。この場合は (i) により $W$ が複素数全体になる。2次式 $f$ は複素数の範囲では必ず根をもつので、その根は $W$ に入ってしまう。よって条件(*)は成り立たない。

最後に $b=0,c>0$ の場合を考える。このとき $$\alpha =\sqrt{c}i,\beta =-\sqrt{c}i$$ であり、$W$ は虚軸全体である。$z=yi$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(z)}& {\displaystyle =z^2-2z+5-c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-y^2-2yi+5-c}\end{array}$$である。これが0になるためには虚部から $y=0$ が必要であり、そのとき実部から $5-c=0$ が必要である。したがって、この場合は $c\mathrm{\ne }5$ のとき、かつそのときに限り条件(*)を満たす。

以上をまとめる。$b\mathrm{\ne }0$ の部分では $$c\leqq b^2\text{かつ}c<-b^2+2b+4$$ である。$b=0$ の部分では $c\mathrm{\ne }5$ である。ゆえに求める集合 $D$ は$$D=\{(b,c)\mid b\mathrm{\ne }0,c\leqq b^2,c<-b^2+2b+4\}\cup \{(0,c)\mid c\mathrm{\ne }5\}$$である。

図示すると、$b\mathrm{\ne }0$ では放物線 $c=b^2$ の下側または境界と、放物線 $c=-b^2+2b+4$ の下側との共通部分を取る。ただし後者の境界は含まない。さらに $b=0$ の縦軸上は、点 $(0,5)$ だけを除いてすべて含める。

2根が張る実係数の集合 $W$ を、実軸・複素平面全体・虚軸・原点の4種類に分類する。各場合で $f$ の根が $W$ に入る条件を調べ、境界を2本の放物線と $b=0$ 上の例外として図示する。

(i)$$d=\sqrt{c-b^2}>0$$ とおけば$$\alpha =-b+di,\beta =-b-di\mathrm{.}$$任意の $X+Yi$ に対し$$t+u=-{\displaystyle \frac{X}{b}},t-u={\displaystyle \frac{Y}{d}}$$を満たす実数 $t,u$ を取れば $t\alpha +u\beta =X+Yi$ となる。

(ii)$$W=\{t\alpha +u\beta \mid t,u\in \mathbb{R}\}$$ とする。

$c\leqq b^2$ で $(b,c)\mathrm{\ne }(0,0)$ なら $W=\mathbb{R}$ である。このとき条件(*)は $f$ が実根をもたないこと，すなわち$$c<-b^2+2b+4$$と同値である。$(0,0)$ も $f(0)=5\mathrm{\ne }0$ なので条件を満たす。

$c>b^2,b\mathrm{\ne }0$ なら (i) により $W=\mathbb{C}$ である。2次式 $f$ は複素根をもつため，条件(*)は成り立たない。

$b=0,c>0$ なら $W=i\mathbb{R}$ である。$z=yi$ を代入すると$$f(yi)=-y^2-2yi+5-c$$だから，これが0になるのは $y=0,c=5$ のときだけである。

以上より$$D=\{(b,c)\mid b\mathrm{\ne }0,c\leqq b^2,c<-b^2+2b+4\}\cup \{(0,c)\mid c\mathrm{\ne }5\}\mathrm{.}$$