京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 平面 $z=a$ と線分 $PQ$ の交点の水平位置は $aP+(1-a)Q$ である。一周の三局面から断面の頂点は$$aA+(1-a)E,aB+(1-a)F,aC+(1-a)D$$となる。隣り合う辺の単位ベクトルを $\vec{u},\vec{v}$ とし、そのなす角を ${120}^{\circ }$ とすると断面の一辺は $a\vec{u}+(1-a)\vec{v}$ である。よって辺長の二乗は$$a^2+(1-a{)}^2-a(1-a)=3a^2-3a+1.$$三辺とも同じなので、断面は辺長 $\sqrt{3a^2-3a+1}$ の正三角形である。

(2) 断面積は$$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(3a^2-3a+1)\mathrm{.}$$したがって$$V={\int }_0^{1}S(a)da={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{[a^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2+a]}_0^1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}$$

下の正三角形に座標を置き、断面の三頂点を直接求める。座標差から三辺が等しいことと面積を確認し、体積へ進む。

(1) $$D=(0,0),E=(1,0),F=(1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$$ とする。高さ $a$ の断面の三頂点は$$U=(1-a)E+aD,V=(1-a)F+aE,W=(1-a)D+aF\mathrm{.}$$計算すると$$U{V}^2=V{W}^2=W{U}^2=3a^2-3a+1.$$よって断面は正三角形である。

(2) 正三角形の面積公式から$$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(3a^2-3a+1)\mathrm{.}$$これを $0\leqq a\leqq 1$ で積分して$$V={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }_0^1(3a^2-3a+1)da={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$$を得る。