京大 1986年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

直交する $O A, O B$ 方向を基底とする。十分性を成分で確認し、必要性では $f_{1, 0}, f_{0, 1}$ との可換性だけで $g$ が二方向を混ぜられないことを示す。

解答

${\vec{e}}_{1} = \vec{O A}, {\vec{e}}_{2} = \vec{O B}$ とする。両者は直交し、任意のベクトルは $s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}$ と一意に書ける。また $f_{α, β} (s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}) = α s {\vec{e}}_{1} + β t {\vec{e}}_{2} .$ $g = f_{α^{'}, β^{'}}$ なら二方向を別々に伸縮するだけなので、任意の $f_{α, β}$ と可換である。

逆に全ての $f_{α, β}$ と可換とする。 $g ({\vec{e}}_{1}) = u {\vec{e}}_{1} + v {\vec{e}}_{2}$ とおく。 $f_{1, 0}$ との可換性を ${\vec{e}}_{1}$ に適用すると $u {\vec{e}}_{1} = f_{1, 0} (g ({\vec{e}}_{1})) = g ({\vec{e}}_{1})$ なので $v = 0$ である。同様に $f_{0, 1}$ を ${\vec{e}}_{2}$ に適用すると $g ({\vec{e}}_{2}) = β^{'} {\vec{e}}_{2}$ となる。よってある $α^{'}, β^{'}$ に対し $g (s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}) = α^{'} s {\vec{e}}_{1} + β^{'} t {\vec{e}}_{2} = f_{α^{'}, β^{'}} (s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}) .$ 必要十分性が示された。

別解

解法2（符号を反転する変換を使う）

方針

$f_{1, - 1}$ は $O A$ 方向を保ち $O B$ 方向の符号を反転する。これと可換する一次変換は二方向を混ぜられないことを、像の係数比較で示す。

解答

$h = f_{1, - 1}$ とする。すると $h ({\vec{e}}_{1}) = {\vec{e}}_{1}, h ({\vec{e}}_{2}) = - {\vec{e}}_{2} .$ 全ての $f_{α, β}$ と可換する $g$ は特に $h$ と可換する。 $g ({\vec{e}}_{1}) = u {\vec{e}}_{1} + v {\vec{e}}_{2}$ とおくと $h (g ({\vec{e}}_{1})) = u {\vec{e}}_{1} - v {\vec{e}}_{2}, g (h ({\vec{e}}_{1})) = u {\vec{e}}_{1} + v {\vec{e}}_{2} .$ よって $v = 0$ である。同様に $g ({\vec{e}}_{2}) = p {\vec{e}}_{1} + q {\vec{e}}_{2}$ へ適用すると $p = 0$ となる。したがって $g ({\vec{e}}_{1}) = α^{'} {\vec{e}}_{1}, g ({\vec{e}}_{2}) = β^{'} {\vec{e}}_{2}$ であり、一次性から $g = f_{α^{'}, β^{'}}$ である。逆向きは二方向の係数を順に掛けるだけなので直ちに成り立つ。

総評

難易度7、計算量5。目安時間は26分である。 $O A, O B$ が直交することを最初に確認する。必要性では「全ての $α, β$ 」のうち射影2個または符号反転1個を選び、二方向の混合係数が0になることを明示する。行列式は不要である。

出典: 京都大学 1986年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

京都大学 1986年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問