京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
傾き $m$ の接線の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ であるから $f^{\mathrm{\prime }}(t)=m$ が必要十分である。ここで $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$ なので、接点の $x$ 座標は $3t^2+2at+b-m=0$ の解である。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると $$D=(2a{)}^2-4\cdot 3(b-m)=4(a^2-3b+3m)$$ である。よって接線の本数は$$\{\begin{array}{ll}2& (a^2-3b+3m>0),\\ 1& (a^2-3b+3m=0),\\ 0& (a^2-3b+3m<0)\end{array}$$である。

(2)
傾き $m$ の接線が2本あるとする。その一方の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接点は $(t,f(t))$ であり、接線の方程式は $y=f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)$ である。この接線と曲線 $y=f(x)$ との共有点の $x$ 座標は $f(x)-f(t)-f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)=0$ を満たす。

左辺を計算する。$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-f(t)-f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)}& {\displaystyle =x^3-t^3+a(x^2-t^2)+b(x-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(3t^2+2at+b)(x-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-t)\{x^2+xt+t^2+a(x+t)+b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -3t^2-2at-b\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-t)\{x^2+xt-2t^2+ax-at\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-t{)}^2(x+2t+a)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって接点以外の交点の $x$ 座標は $-2t-a$ である。

接線の傾きは $m$ なので、接線上で $x$ 座標が $t$ から $-2t-a$ に変わると、線分の長さは $$\mathrm{\mid }(-2t-a)-t\mathrm{\mid }\sqrt{1+m^2}=\mathrm{\mid }3t+a\mathrm{\mid }\sqrt{1+m^2}$$ である。

2本の接線の接点の $x$ 座標を $t_1,t_2$ とする。これらは $3t^2+2at+b-m=0$ の2つの解であるから $$t_1+t_2=-{\displaystyle \frac{2a}{3}}$$ である。したがって $3t_1+a=-(3t_2+a)$ となり、$\mathrm{\mid }3t_1+a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3t_2+a\mathrm{\mid }$ である。よって対応する距離は等しく $P_1{Q}_1=P_2{Q}_2$ である。

横方向の平行移動で二次項を消し、三次関数を $F(X)=X^3+pX+q$ の形にする。同じ傾きの二接点が $X=\pm s$ になる対称性から距離を比較する。

$X=x+a\mathrm{/}3$ と平行移動すると、グラフは$$Y=F(X)=X^3+pX+q$$の形になる。平行移動では接線の傾きも点間距離も変わらない。

(1)
傾き $m$ の接点の $X$ 座標は$$F^{\mathrm{\prime }}(X)=3X^2+p=m$$を満たす。したがって$$\{\begin{array}{ll}2\text{本}& (m>p),\\ 1\text{本}& (m=p),\\ 0\text{本}& (m<p)\mathrm{.}\end{array}$$ここで変数変換から $p=b-a^2\mathrm{/}3$ なので、これは$$a^2-3b+3m$$の正・零・負による分類と一致する。

(2)
二本あるとき、接点の $X$ 座標は $s,-s$ である。$X=s$ における接線と曲線の交点を調べると$$F(X)-F(s)-F^{\mathrm{\prime }}(s)(X-s)=(X-s{)}^2(X+2s)\mathrm{.}$$したがって接点以外の交点は $X=-2s$ であり、横方向の差は $3\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$ である。同様に接点 $-s$ の接線は、他の交点 $2s$ まで横方向に $3\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$ だけ離れている。

両接線の傾きは同じ $m$ だから、接線上の実際の距離はどちらも$$3\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\sqrt{1+m^2}\mathrm{.}$$よって $P_1{Q}_1=P_2{Q}_2$ である。