京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

$C_1$上では $y=x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ である。これを$C_2:x=y^2-a$へ代入すると $$x={(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2-a$$ となる。したがって $$a={(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2-x$$ である。

ここで $$h(x)={(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2-x$$ とおく。$x$が1つ決まれば$y=x^2-5\mathrm{/}4$も1つに決まるので，$C_1$と$C_2$の相異なる交点の個数は，方程式 $h(x)=a$ の相異なる実数解の個数と一致する。

微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=4x(x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}})-1=4x^3-5x-1$$ であり，$$4x^3-5x-1=(x+1)(4x^2-4x-1)$$ である。よって臨界点は $$x=-1,x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}},x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$ である。これらを小さい順に並べると $$-1<{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}<{\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$ である。

まず $$h(-1)={(1-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2+1={\displaystyle \frac{17}{16}}$$ である。次に，$\alpha =(1\pm \sqrt{2})\mathrm{/}2$は$4{\alpha }^2-4\alpha -1=0$を満たすので $${\alpha }^2=\alpha +{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $${\alpha }^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}=\alpha -1$$ より $$h(\alpha )=(\alpha -1{)}^2-\alpha ={\alpha }^2-3\alpha +1={\displaystyle \frac{5}{4}}-2\alpha$$ となる。よって $$h\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}+\sqrt{2}$$ であり，$$h\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}-\sqrt{2}$$ である。 $h^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は，左から順に $-,+,-,+$ と変わる。したがって$h(x)$は，$x=-1$で極小，$x=(1-\sqrt{2})\mathrm{/}2$で極大，$x=(1+\sqrt{2})\mathrm{/}2$で極小をとる。

4次関数$h(x)$のグラフは両端で上に向かう。水平線$y=a$が4つの相異なる交点をもつには，左側の極小値$17\mathrm{/}16$より上にあり，かつ中央の極大値$1\mathrm{/}4+\sqrt{2}$より下にあることが必要十分である。端点では重なった交点が生じ，相異なる4点にはならない。

よって求める範囲は $${\displaystyle {\displaystyle \frac{17}{16}}<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}+\sqrt{2}}$$ である。

交点数が変化する境目を、2曲線が接するときとして求める。接点では両曲線の接線の傾きが一致するため、交点条件と接線条件を連立する。

交点では $y=x^2-5\mathrm{/}4,x=y^2-a$ である。交点数が変わる境目では
2曲線が接する。接線の傾きはそれぞれ $2x,1\mathrm{/}(2y)$ だから$$4xy=1.$$$y=x^2-5\mathrm{/}4$ を代入すると$$4x^3-5x-1=(x+1)(4x^2-4x-1)=0,$$したがって接点候補は$$x=-1,{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$各点で $a=y^2-x$ を計算すると、対応する値は$${\displaystyle \frac{17}{16}},{\displaystyle \frac{1}{4}}+\sqrt{2},{\displaystyle \frac{1}{4}}-\sqrt{2}\mathrm{.}$$4次式 $(x^2-5\mathrm{/}4{)}^2-x-a=0$ の両端は正に発散し、上の3点で増減が
交互に変わる。ゆえに相異なる4実根をもつのは$${\displaystyle \frac{17}{16}}<a<{\displaystyle \frac{1}{4}}+\sqrt{2}$$のときに限る。端点では接して重根となるため除く。