京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

底面では $y=0,x=5$、上面では $y=8,x=1$ だから$$0=\frac{a}{5}+b,8=a+b$$である。これを解くと$$a=10,b=-2$$となる。したがって、深さ $y$ での容器の半径は$$r(y)=\frac{10}{y+2}$$である。

(1)

深さ6 cmまでの水の体積を $V$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^6{\left(\frac{10}{y+2}\right)}^{2}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100\pi {[-\frac{1}{y+2}]}_0^6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =100\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{8})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{75\pi }{2}}\end{array}$$である。よって水の体積は$$\frac{75\pi }{2}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$$である。

(2)

時刻を $t$ 秒、水深を $y$ cm、水量を $V$ とする。体積増加率 $dV\mathrm{/}dy$ は水面積に等しい。$y=3$ では水面半径が2 cm だから$$\frac{dV}{dy}=4\pi$$である。また $dV\mathrm{/}dt=k$ なので$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\frac{dy}{dt}=4\pi \frac{dy}{dt}=k$$となる。したがって$$\frac{dy}{dt}=\frac{k}{4\pi }\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$$である。

(1) は水の縦断面を回転する円筒殻で考える。半径 $0\leqq x\leqq 5\mathrm{/}4$ では水柱の高さが6、$5\mathrm{/}4\leqq x\leqq 5$ では容器側面の高さ $10\mathrm{/}x-2$ まで水があるので、2つの積分に分ける。(2) は深さ3で半径2の水面に、短時間で体積 $kdt$ の薄い円柱状の層が加わると考えて速度を出す。

曲線の条件から、解法1と同様に$$y=\frac{10}{x}-2,\text{水深6での半径}=\frac{10}{6+2}=\frac{5}{4}$$である。

(1)

$y$ 軸からの距離が $x$ の薄い円筒殻を考える。$0\leqq x\leqq 5\mathrm{/}4$ では殻の高さは6である。$5\mathrm{/}4\leqq x\leqq 5$ では、殻の高さは容器側面の高さ $10\mathrm{/}x-2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{5\mathrm{/}4}6xdx+2\pi {\int }_{5\mathrm{/}4}^{5}x(\frac{10}{x}-2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\left[3x^2\right]}_0^{5\mathrm{/}4}+2\pi {[10x-x^2]}_{5\mathrm{/}4}^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{75\pi }{8}+\frac{225\pi }{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{75\pi }{2}}\end{array}$$である。よって体積は $75\pi \mathrm{/}2{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ となる。

(2)

水深3 cmでは水面半径は2 cm、水面積は $4\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ である。短い時間 $dt$ 秒に入る水量 $kdt$ は、水面が $dy$ cm 上がってできる薄い層の体積 $4\pi dy$ に等しい。したがって$$kdt=4\pi dy⟹\frac{dy}{dt}=\frac{k}{4\pi }\mathrm{c}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$$である。