京大 1990年度理系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問

関数 $y = \log x$ のグラフ上の1点 $P (s, \log s)$ $(s ≧ 1)$ における接線と $y$ 軸の交点を $Q$ とする．
グラフ上に定点 $A (1, 0)$ をとる．
$A P$ 間のグラフの長さを $\overset{⌢}{AP}$ ，線分 $P Q$ の長さを $\overline{P Q}$ とし，
$t = \overline{P Q} - \overset{⌢}{AP}$ とする．

$t$ は $s$ の関数である．

(1) $\frac{d t}{d s}$ を $s$ で表わせ．

(2) $u = \frac{1}{s}$ ， $v = \sqrt{1 + u^{2}}$ とおくとき，
$\frac{d u}{d t}$ および $\frac{d v}{d t}$ を $u$ の関数として表わせ．

(3) $u$ を $t$ の関数として表わせ．

難易度7/ 10計算量7/ 10目安25分

方針

接線の $y$ 切片から $P Q$ を求め、弧長は微小区間の長さを積分して表す。(1)の差は大きく約分される。(2)では $u = 1 / s$ に直すと $d u / d t = v, d v / d t = u$ という対称な連立関係になるので、 $u + v$ と $v - u$ を別々に解く。

解答

(1)

点 $P$ における接線は $y - \log s = \frac{1}{s} (x - s)$ であるから $Q = (0, \log s - 1)$ である。よって $\overline{P Q} = \sqrt{s^{2} + 1}$ であり、 $\overset{⌢}{AP} = \int_{1}^{s} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} d x .$ したがって $\frac{d t}{d s} = \frac{s}{\sqrt{s^{2} + 1}} - \sqrt{1 + \frac{1}{s^{2}}} = - \frac{1}{s \sqrt{s^{2} + 1}} .$ (2) $u = 1 / s, v = \sqrt{1 + u^{2}}$ とすると $\frac{d t}{d s} = - \frac{u^{2}}{v}, \frac{d u}{d s} = - u^{2} .$ よって $\frac{d u}{d t} = v .$ また $\frac{d v}{d u} = \frac{u}{v}$ であるから $\frac{d v}{d t} = \frac{u}{v} \frac{d u}{d t} = u .$ (3)

$s = 1$ のとき $u = 1, v = \sqrt{2}, t = \sqrt{2}$ である。(2)より $\frac{d}{d t} (u + v) = u + v, \frac{d}{d t} (v - u) = - (v - u) .$ したがって $u + v = (1 + \sqrt{2}) e^{t - \sqrt{2}}, v - u = (\sqrt{2} - 1) e^{- (t - \sqrt{2})} .$ 両式の差を取ると $u (t) = \frac{1}{2} {(1 + \sqrt{2}) e^{t - \sqrt{2}} - (\sqrt{2} - 1) e^{- (t - \sqrt{2})}} .$

総評

目安は25分。(1)で弧長の微分をそのまま使い、二つの根号を同じ形に直す計算が第一の得点源である。(2)の対称形を見落として直接二階微分に進むと長くなる。初期値は $s = 1$ で弧長が0、 $P Q = \sqrt{2}$ であることを必ず確認する。

出典: 京都大学 1990年度後期理系第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

方針

解答

総評

京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問