京都大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

上側の交点を $P=(x,y)$ とする。$OP\perp O^{\mathrm{\prime }}P$ と $OP=r$ より$$x=r^2,y=r\sqrt{1-r^2}\mathrm{.}$$$$r=\cos \varphi (0<\varphi <\pi \mathrm{/}2)$$ とおくと、$O^{\mathrm{\prime }}P=\sin \varphi$ である。四辺形の面積は $\sin \varphi \cos \varphi$ で、二円の共通部分は$$\varphi {\cos }^2\varphi +({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\varphi ){\sin }^2\varphi -\sin \varphi \cos \varphi \mathrm{.}$$従って求める面積は$$A(\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi -\varphi {\cos }^2\varphi -({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\varphi ){\sin }^2\varphi \mathrm{.}$$微分すると$$A^{\mathrm{\prime }}(\varphi )=\cos 2\varphi +(2\varphi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\sin 2\varphi \mathrm{.}$$$u=2\varphi -\pi \mathrm{/}2$ と置けば $A^{\mathrm{\prime }}=u\cos u-\sin u$ で、$\tan u>u$ を用いると $\varphi <\pi \mathrm{/}4$ で正、$\varphi >\pi \mathrm{/}4$ で負である。よって最大は $\varphi =\pi \mathrm{/}4$、$r=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のとき$$A_{\max }=1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$

面積式を $\varphi =\pi \mathrm{/}4+t$ で整理し、最大候補の対称点との差を一変数の非負式へ直す。導関数の符号を $\tan x>x$ で示す。

交点とレンズ面積の計算により$$A(\varphi )=\sin 2\varphi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-(\varphi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\cos 2\varphi \mathrm{.}$$$t=\varphi -\pi \mathrm{/}4$ とおくと$$A(\varphi )=\cos 2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+t\sin 2t\mathrm{.}$$従って$$A\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)-A(\varphi )=H(t)=1-\cos 2t-t\sin 2t\mathrm{.}$$$H$ は偶関数である。$0<t<\pi \mathrm{/}4$ では$$H^{\mathrm{\prime }}(t)=\sin 2t-2t\cos 2t\mathrm{.}$$$0<2t<\pi \mathrm{/}2$ で $\tan 2t>2t$ だから $H^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。よって $H(t)\geqq 0$、等号は $t=0$ のみである。したがって最大は $\varphi =\pi \mathrm{/}4$ で$$A_{\max }=1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$となる。