京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$a=b=c=0$ のときは等号が成り立つ。以下、少なくとも1つは0でないとする。$a+b+c=0$ だから、3数がすべて同符号になることはない。文字を入れ替えて、$a,b\geqq 0,c\leqq 0$ としてよい。このとき $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=a+b$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }{)}^2-2(a^2+b^2+c^2)}& {\displaystyle ={2(a+b)}^2-2\{a^2+b^2+(a+b{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4ab\geqq 0}\end{array}$$である。よって所要の不等式が成り立つ。

上の差が0となるのは $ab=0$ のときである。これは、もとの3数のうち少なくとも1つが0であることと同値である。実際、例えば $c=0$ なら $b=-a$ であり、両辺はともに $4a^2$ となる。したがって等号成立条件は、$a,b,c$ の少なくとも1つが0であることである。

絶対値が最大の数に注目する。和が0なら、その絶対値は残る2数の絶対値の和になり、二乗和は固定された和のもとで直ちに評価できる。

3数のうち絶対値が最大のものを、文字を入れ替えて $c$ とする。
$a+b+c=0$ であり、3数が同符号になることはないから、$c$ は残る2数と
反対符号に選べる。よって$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$x=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid },y=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ とおけば $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=x+y$ である。したがって$$(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }{)}^2=4(x+y{)}^2$$であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)}& {\displaystyle =2\{x^2+y^2+(x+y{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(x^2+xy+y^2)\mathrm{.}}\end{array}$$両者の差は$$4(x+y{)}^2-4(x^2+xy+y^2)=4xy\geqq 0.$$これで不等式が示された。

等号は $xy=0$、すなわち $a,b$ の少なくとも一方が0のときである。
文字の入れ替えを戻せば、等号成立条件は$$a,b,c\text{ の少なくとも1つが0}$$である。