京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $f,g$ を表す行列をそれぞれ$$F=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right),G=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$とおく。直接計算すると$$F^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),G^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。したがって $f^2=g^2=i$ である。

また$$GF=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$であり，$$(GF{)}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$なので$$(GF{)}^3=(GF{)}^2(GF)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。よって $(gf{)}^3=i$ が成り立つ。

(2)

行列を掛けてもよいが，(1)の関係を使うと短く整理できる。$g^2=i$，$f^2=i$，$(gf{)}^3=i$ より，次の等式が成り立つ。 $g=fgfgf,$ $fg=gfgf,$ $gfg=fgf,$ $fgfg=gf,$ $gfgfg=f\mathrm{.}$ したがって，後者の5つは前者の5つと次のように一致する。 $$g=fgfgf,fg=gfgf,gfg=fgf,fgfg=gf,gfgfg=f\mathrm{.}$$ (3)

(1) ，(2)より，$f,g$ を繰り返して得られる変換は $i,f,g,gf,fg,fgf$ の6個である。どの変換も原点を原点へ移すので，三角形 $\mathrm{\Delta }$ は原点と，$(1,0)$，$(0,1)$ の移った2点で決まる。

6個の変換で $(1,0)$，$(0,1)$ が移る先を並べると，原点のまわりに次の6点が現れる。$$(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1)$$である。得られる6個の三角形は，原点と，この順に隣り合う2点を頂点にもつ三角形である。

したがって求める和集合は，6点 $(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1)$ をこの順に結んでできる六角形の内部および周である。図示では，原点を中心に，右，右下，下，左，左上，上の方向へ頂点をもつ六角形を描けばよい。

各変換が基底ベクトルをどこへ移すかを表にして6個の変換を識別する。長い積の一致と、三角形像の頂点を同じ表から読み取り、六角形を直接構成する。

(1) (1) 基底ベクトルを$${\mathit{e}}_1=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$$，$${\mathit{e}}_2=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$$とする。行列を順に掛けると、得られる変換と2本の像は次の6種類だけである。$$\begin{array}{ccc}& {\mathit{e}}_1\text{の像}& {\mathit{e}}_2\text{の像}\\ i& (1,0)& (0,1)\\ f& (1,0)& (1,-1)\\ g& (-1,1)& (0,1)\\ gf& (-1,1)& (-1,0)\\ fg& (0,-1)& (1,-1)\\ fgf& (0,-1)& (-1,0)\end{array}$$この表の各組は異なるので変換も異なる。また、さらに$f$または$g$を合成しても表内の別の行へ移る。これにより$$f^2=g^2=(gf{)}^3=i$$と、生成される変換がこの6個だけであることを同時に確認できる。

(2) (2) 後者5個を同じ表へ照合すれば$$\begin{array}{rlrlrl}{\displaystyle g}& {\displaystyle =fgfgf,}& {\displaystyle fg}& {\displaystyle =gfgf,}& {\displaystyle gfg}& {\displaystyle =fgf,}\\ {\displaystyle fgfg}& {\displaystyle =gf,}& {\displaystyle gfgfg}& {\displaystyle =f\mathrm{.}}\end{array}$$(3) (3) $\mathrm{\Delta }$の像は原点と表の2点を頂点にもつ。6個を合わせた領域は$$(1,0),(1,-1),(0,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1)$$を順に結ぶ六角形の内部と周である。