京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

円 $C$ の中心を原点とし，直径 $AB$ を $x$ 軸上に取って $$A=(1,0),B=(-1,0)$$ とする。$C_1$ は $A$ で $C$ と接し，半径が $a$ なので，その中心は $(1-a,0)$ である。同様に $C_2$ の中心は $(-1+b,0)$ である。

(1) $\mathrm{\angle }POA=\theta$ とするので $$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおく。点 $P$ から円 $C_1$ へ引いた接線の長さは，$P$ と $C_1$ の中心との距離の2乗から $a^2$ を引いたものの平方根である。したがって $$P{Q}^2=\{\cos \theta -(1-a){\}}^2+{\sin }^2\theta -a^2$$ である。整理すると $$P{Q}^2=1-2(1-a)\cos \theta +(1-a{)}^2-a^2=2(1-a)(1-\cos \theta )$$ である。さらに $$1-\cos \theta =2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ より $$PQ=2\sqrt{1-a}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ である。ここで $0\leqq \theta \leqq \pi$ と見てよいので，$\sin (\theta \mathrm{/}2)\geqq 0$ である。

(2)

同様に，$C_2$ への接線長について $$P{R}^2=\{\cos \theta -(-1+b){\}}^2+{\sin }^2\theta -b^2$$ である。これを整理すると $$P{R}^2=2(1-b)(1+\cos \theta )=4(1-b){\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ なので $$PR=2\sqrt{1-b}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$ である。

よって$$PQ+PR=2\sqrt{1-a}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+2\sqrt{1-b}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$である。$u=\theta \mathrm{/}2$ とおくと $0\leqq u\leqq \pi \mathrm{/}2$ であり，$$PQ+PR=2\{\sqrt{1-a}\sin u+\sqrt{1-b}\cos u\}$$ となる。任意の $u$ に対して$$\sqrt{1-a}\sin u+\sqrt{1-b}\cos u\leqq \sqrt{(1-a)+(1-b)}\sqrt{{\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u}$$であるから $PQ+PR\leqq 2\sqrt{2-a-b}$ である。

等号は $(\sin u,\cos u)$ が $(\sqrt{1-a},\sqrt{1-b})$ と同じ向きになるように $u$ を選べば成り立つ。したがって最大値は ${\displaystyle 2\sqrt{2-a-b}}$ である。

小円の中心を使い、接線長を外円の弦長の定数倍として表す。2本の弦$PA,PB$の半角表示から、平方完成に相当する恒等式で最大値を得る。

(1) (1) 中心$O$を原点、$\overrightarrow{OA}$を単位ベクトルとする。$C_1$の中心$U$は$$\overrightarrow{OU}=(1-a)\overrightarrow{OA}$$である。接線長の定理から$$P{Q}^2=P{U}^2-a^2\mathrm{.}$$$$\mid OP\mid =\mid OA\mid =1$$、$\mathrm{\angle }POA=\theta$を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{U}^2-a^2}& {\displaystyle =1+(1-a{)}^2-2(1-a)\cos \theta -a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-a)\{2-2\cos \theta \}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-a)P{A}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$PQ=\sqrt{1-a}PA=2\sqrt{1-a}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$(2) (2) 同様に$$PR=\sqrt{1-b}PB=2\sqrt{1-b}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$$u=\theta \mathrm{/}2$とおき、$$\alpha =\sqrt{1-a}$$，$$\beta =\sqrt{1-b}$$とする。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\alpha \sin u+\beta \cos u{)}^2=}& {\displaystyle {\alpha }^2+{\beta }^2-(\alpha \cos u-\beta \sin u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\alpha }^2+{\beta }^2\mathrm{.}}\end{array}$$等号を満たす$u\in [0,\pi \mathrm{/}2]$が存在するので、$$\max (PQ+PR)=2\sqrt{2-a-b}\mathrm{.}$$