京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(u,v)$ における接線は $ux-vy=1$ である。これが $P(0,p)$ を通るので $-vp=1$ すなわち $v=-{\displaystyle \frac{1}{p}}$ である。接点は双曲線上にあるから $u^2-v^2=1$ より $u^2=1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}$ である。したがって2つの接点は$$A=(\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}},-{\displaystyle \frac{1}{p}}),B=(-\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}},-{\displaystyle \frac{1}{p}})$$である。

よって底辺 $AB$ の長さは $2\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}}$ であり，点 $P(0,p)$ から直線 $AB$ までの高さは $p+{\displaystyle \frac{1}{p}}$ である。したがって三角形の面積を $S(p)$ とすると $$S(p)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}}(p+{\displaystyle \frac{1}{p}})$$ である。整理して$$S(p)=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}}(p+{\displaystyle \frac{1}{p}})={\displaystyle \frac{(p^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{p^2}}$$を得る。 $s=p^2$ とおくと $s>0$ であり，$S(p)$ を最小にすることは $$S(p{)}^2={\displaystyle \frac{(s+1{)}^3}{s^2}}$$ を最小にすることと同じである。$H(s)=(s+1{)}^3\mathrm{/}{s}^2$ とおく。微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(s)={\displaystyle \frac{(s+1{)}^2(s-2)}{s^3}}$$ である。したがって $0<s<2$ で減少し，$s>2$ で増加する。よって最小となるのは $s=2$ のときである。 $s=p^2$，$p>0$ より，求める値は $${\displaystyle p=\sqrt{2}}$$ である。

接点と面積を求めた後、微分せずに面積平方と候補値との差を因数分解する。正値性と等号条件から最小点を一意に決める。

双曲線上の接点を$(u,v)$とすると、接線$ux-vy=1$が$P(0,p)$を通るので$$v=-{\displaystyle \frac{1}{p}},u=\pm \sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}}\mathrm{.}$$したがって三角形の面積は$$S(p)={\displaystyle \frac{(p^2+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{p^2}}\mathrm{.}$$$s=p^2>0$とおくと$$S(p{)}^2={\displaystyle \frac{(s+1{)}^3}{s^2}}\mathrm{.}$$ここで$$4(s+1{)}^3-27s^2=(s-2{)}^2(4s+1)\geqq 0.$$よって$$S(p{)}^2\geqq {\displaystyle \frac{27}{4}}\mathrm{.}$$等号は$s=2$のとき、かつそのときに限って成立する。$p>0$より$$p=\sqrt{2}$$で面積が最小になる。