京都大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$a=F(1)$ とおくと $G(x)=a-F(x)$ である。$y=F(x)$ はある区間を動くので、与式は$$F(a-y)=-y^2+p(a-y)+q$$という $y$ の恒等式である。従って $F$ は二次式である。$F(0)=0$ より$$F(x)=u{x}^2+vx$$とおく。左辺の $y^2$ の係数を比較すると $u=-1$ である。また $F(1)=a$ より $v=a+1$ である。

(1) よって$$F(x)=x(a+1-x)\mathrm{.}$$実際、係数比較から $p=1-a,q=a^2$ も選べるので条件は満たされる。

(2) $F$ は下に凸ではなく上に開かない二次関数で、頂点は $x=(a+1)\mathrm{/}2$ である。頂点が $[0,1]$ にある場合の最大値は$$\frac{(a+1{)}^2}{4}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}2$ となり、頂点条件 $-1\leqq a\leqq 1$ を満たすのは$$a=\sqrt{2}-1.$$$a<-1$ では区間の最大値は0、$a>1$ では最大値 $F(1)=a>1$ なので他に解はない。従って$$f(x)=F^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{2}-2x\mathrm{.}$$