京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

仮定から$$\mathrm{\mid }p(1)\mathrm{\mid }\leqq 1,\mathrm{\mid }p(-1)\mathrm{\mid }\leqq 1,\mathrm{\mid }p(0)\mathrm{\mid }\leqq 1.$$ここで$$p(1)=a+b+c,p(-1)=a-b+c,p(0)=c\mathrm{.}$$係数を消去すると$$q(x)={\displaystyle \frac{1+x}{2}}p(1)+{\displaystyle \frac{1-x}{2}}p(-1)-(1-x^2)p(0)$$である。

$-1\leqq x\leqq 1$ では$${\displaystyle \frac{1+x}{2}}\geqq 0,{\displaystyle \frac{1-x}{2}}\geqq 0$$で、2係数の和は1である。したがって最初の2項は
$p(1),p(-1)$ の凸結合であり、その絶対値は1以下である。
また$$\mathrm{\mid }(1-x^2)p(0)\mathrm{\mid }\leqq 1-x^2\leqq 1.$$三角不等式より$$\mathrm{\mid }q(x)\mathrm{\mid }\leqq 1+1=2.$$よって主張が成り立つ。

3点の値による二次式の復元

$p(-1),p(0),p(1)$ から係数 $a,b,c$ を復元し、そのまま
$q(x)$ へ代入する。得られる式を3つの既知値の重み付き和として
評価する。

$$p(1)=a+b+c,p(-1)=a-b+c,p(0)=c\mathrm{.}$$したがって$$b={\displaystyle \frac{p(1)-p(-1)}{2}},$$$$a={\displaystyle \frac{p(1)+p(-1)}{2}}-p(0),c=p(0)\mathrm{.}$$これを $q(x)=c{x}^2+bx+a$ へ代入すると$$q(x)={\displaystyle \frac{1+x}{2}}p(1)+{\displaystyle \frac{1-x}{2}}p(-1)-(1-x^2)p(0)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1$ では最初の2係数は非負で和が1だから$$\mid {\displaystyle \frac{1+x}{2}}p(1)+{\displaystyle \frac{1-x}{2}}p(-1)\mid \leqq 1.$$また$$\mathrm{\mid }(1-x^2)p(0)\mathrm{\mid }\leqq 1.$$よって$$\mathrm{\mid }q(x)\mathrm{\mid }\leqq 2.$$