京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

接点を $(t,t^4-6t^2)$ とすると、接線は$$y=(4t^3-12t)x-3t^4+6t^2$$である。これが $(a,b)$ を通る条件は$$b={\varphi }_a(t):=4a{t}^3-12at-3t^4+6t^2$$である。したがって四本の接線が引けるための必要十分条件は、水平線 $y=b$ が $y={\varphi }_a(t)$ と相異なる四点で交わることである。

微分すると$${\varphi }_a^{\mathrm{\prime }}(t)=-12(t-a)(t-1)(t+1)\mathrm{.}$$また$${\varphi }_a(-1)=3+8a,{\varphi }_a(1)=3-8a,{\varphi }_a(a)=a^4-6a^2$$である。三つの停留点を左から並べると、外側の二点が極大、中央が極小になる。よって求める範囲は次の開領域である。$$\{\begin{array}{ll}3+8a<b<\min \{a^4-6a^2,3-8a\},& a<-1,\\ a^4-6a^2<b<3-8\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid },& -1<a<1,\\ 3-8a<b<\min \{a^4-6a^2,3+8a\},& a>1.\end{array}$$境界上では重解が生じるため含まない。また $a=\pm 1$ では停留点が重なり、四つの相異なる接点は得られない。

図示すると、境界は二直線 $b=3+8a,b=3-8a$ と四次曲線 $b=a^4-6a^2$ からなる。上側境界の切替点は $a=-3,0,3$ であり、上の不等式で指定された各帯状部分を塗ればよい。