京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$$P=(p,0),Q=(0,q)(p,q>0)$$ とおく。直線 $PQ$ は$${\displaystyle \frac{x}{p}}+{\displaystyle \frac{y}{q}}=1$$である。中心 $(1,1)$ からこの直線までの距離が1だから$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q+p-pq\mathrm{\mid }}{\sqrt{p^2+q^2}}}=1$$である。2乗して整理すると$$\begin{array}{cccc}& (p-2)(q-2)=2& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

線分 $PQ$ を一辺とする正三角形の2つの候補のうち、第1象限にある頂点は$$R=({\displaystyle \frac{p+\sqrt{3}q}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}p+q}{2}})$$である。これを $R=(a,b)$ とすると$$p=\sqrt{3}b-a,q=\sqrt{3}a-b$$となる。これを (1) に代入して$$(\sqrt{3}b-a-2)(\sqrt{3}a-b-2)=2$$を得る。ただし結果を枠で囲む必要はなく、関係式は$$(\sqrt{3}b-a-2)(\sqrt{3}a-b-2)=2$$である。

正三角形の頂点を、線分 $PQ$ を60度回転する行列で求める。その式を逆に解いて $p,q$ を $a,b$ で表し、接線距離の条件へ直接代入する。

$$P=(p,0),Q=(0,q)(p,q>0)$$ とおく。$$\overrightarrow{PQ}=(-p,q)$$ を時計回りに60度回転したベクトルは$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-p\\ q\end{array}\right)\mathrm{.}$$これを $P$ に加えると、第1象限側の頂点は$$R=({\displaystyle \frac{p+\sqrt{3}q}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}p+q}{2}})\mathrm{.}$$$R=(a,b)$ とおけば、連立方程式を解いて$$\begin{array}{cccc}& p=\sqrt{3}b-a,q=\sqrt{3}a-b\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$直線 $PQ$ は$$qx+py-pq=0.$$中心 $(1,1)$ からこの直線までの距離が半径1に等しいので$$(p+q-pq{)}^2=p^2+q^2\mathrm{.}$$$p,q>0$ を用いて整理すると$$\begin{array}{cccc}& (p-2)(q-2)=2.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)を (2) に代入して$$(\sqrt{3}b-a-2)(\sqrt{3}a-b-2)=2.$$実際に生じる点では $p,q>0$ だから$$\sqrt{3}b>a,\sqrt{3}a>b$$も成り立つ。