京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

角の二等分線定理より $${\displaystyle \frac{AQ}{QB}}={\displaystyle \frac{AP}{PB}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{QB}{AQ}}={\displaystyle \frac{PB}{AP}}$$ である。 $P=(t,2t^2+1)$だから $P{B}^2=(t-1{)}^2+(2t^2+1{)}^2$ であり，$A{P}^2=(t+1{)}^2+(2t^2+1{)}^2$ である。よって $$R(t)={\left({\displaystyle \frac{QB}{AQ}}\right)}^2$$ とおくと$$R(t)={\displaystyle \frac{(t-1{)}^2+(2t^2+1{)}^2}{(t+1{)}^2+(2t^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{4t^4+5t^2-2t+2}{4t^4+5t^2+2t+2}}$$である。分母は距離の2乗なので常に正である。 $$N=4t^4+5t^2-2t+2,D=4t^4+5t^2+2t+2$$ とおくと，$R=N\mathrm{/}D$である。微分して整理すると $$R^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{4(2t-1)(2t+1)(3t^2+2)}{D^2}}$$ となる。$3t^2+2>0$，$D^2>0$なので，$R^{\mathrm{\prime }}(t)$の符号は$(2t-1)(2t+1)$で決まる。

したがって$R(t)$は$-\mathrm{\infty }<t<-1\mathrm{/}2$で増加し，$-1\mathrm{/}2<t<1\mathrm{/}2$で減少し，$1\mathrm{/}2<t<\mathrm{\infty }$で増加する。また$t\to \pm \mathrm{\infty }$で$R(t)\to 1$である。

よって最大は$t=-1\mathrm{/}2$，最小は$t=1\mathrm{/}2$でとられる。実際，$$R(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{9}{5}},R\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{9}}$$ である。求める$QB\mathrm{/}AQ$は正なので，最大値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}}}$ であり，最小値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}}$ である。

微分を使わず、比の2乗 $R$ と候補値 $9\mathrm{/}5,5\mathrm{/}9$ の差を恒等式として因数分解する。平方因子から範囲と等号条件を同時に得る。

角の二等分線定理から$${\displaystyle \frac{QB}{AQ}}={\displaystyle \frac{PB}{AP}}\mathrm{.}$$$$R(t)={\left({\displaystyle \frac{QB}{AQ}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4t^4+5t^2-2t+2}{4t^4+5t^2+2t+2}}={\displaystyle \frac{N}{D}}$$とおく。$D=A{P}^2>0$ である。

直接展開すると$$9D-5N=4(2t+1{)}^2(t^2-t+2)\geqq 0.$$$t^2-t+2=(t-1\mathrm{/}2{)}^2+7\mathrm{/}4>0$ だから$$R(t)\leqq {\displaystyle \frac{9}{5}},$$等号は $t=-1\mathrm{/}2$ のときに限る。

同様に$$9N-5D=4(2t-1{)}^2(t^2+t+2)\geqq 0$$より$$R(t)\geqq {\displaystyle \frac{5}{9}},$$等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに限る。

$QB\mathrm{/}AQ>0$ なので平方根をとり、$$\max {\displaystyle \frac{QB}{AQ}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{5}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}},\min {\displaystyle \frac{QB}{AQ}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{9}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}\mathrm{.}$$