京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

弧 $PQ$ の中心角を $\alpha$ とすると、$r\alpha =1$ より $\alpha =1\mathrm{/}r$ である。$R$ が弧上を動くとき、線分 $PR$ の通過部分は弧 $PQ$ と弦 $PQ$ に囲まれた部分である。したがって$$S(r)={\displaystyle \frac{r^2}{2}}({\displaystyle \frac{1}{r}}-\sin {\displaystyle \frac{1}{r}})$$である。

$x=1\mathrm{/}r$ とおく。条件 $2\pi r>1$ より $0<x<2\pi$ であり、$$S={\displaystyle \frac{x-\sin x}{2x^2}}$$となる。定数 $1\mathrm{/}2$ を除いた関数を微分すると、その符号は$$2\sin x-x(1+\cos x)=2\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}(2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}-x\cos {\displaystyle \frac{x}{2}})$$の符号に一致する。

$0<x<\pi$ では、$u=x\mathrm{/}2$ とおくと $0<u<\pi \mathrm{/}2$ であり、$\tan u>u$ だから括弧内は正である。よって $S$ は増加する。$\pi <x<2\pi$ では $\cos (x\mathrm{/}2)<0$ であり、括弧内は正だから $S$ は減少する。したがって最大は $x=\pi$、すなわち $r=1\mathrm{/}\pi$ のときで、$$S_{\max }={\displaystyle \frac{\pi -\sin \pi }{2{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$$である。なお $\tan u>u$ は $h(u)=\tan u-u$ とおけば $$h(0)=0,h^{\mathrm{\prime }}(u)={\tan }^{2}u>0$$ から従う。

微分した商の増減を追わず、候補値 $1\mathrm{/}(2\pi )$ との大小を直接示す。区間 $0<x\leqq \pi$ と $\pi \leqq x<2\pi$ で別々の三角不等式を使う。

中心角を $x=1\mathrm{/}r$ とおけば $0<x<2\pi$ であり、$$S(r)={\displaystyle \frac{x-\sin x}{2x^2}}\mathrm{.}$$これが$$S(r)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$$を満たすことを示す。これは$$\begin{array}{cccc}& F(x)=x^2-\pi x+\pi \sin x\geqq 0& & \text{(1)}\end{array}$$と同値である。

まず $0\leqq x\leqq \pi$ とする。$$h(x)=\sin x-x+{\displaystyle \frac{x^2}{\pi }}$$とおくと $h(\pi -x)=h(x)$ である。$[0,\pi \mathrm{/}2]$ では$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-1+{\displaystyle \frac{2x}{\pi }},h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{.}$$$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ はこの区間で正から負へ1度だけ変わり、
$h^{\mathrm{\prime }}(0)=h^{\mathrm{\prime }}(\pi \mathrm{/}2)=0$ だから $h^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。
よって $h(x)\geqq h(0)=0$。対称性から全区間で $h(x)\geqq 0$、
すなわち (1) が成り立つ。

次に $\pi \leqq x<2\pi$ とし $x=\pi +y(0\leqq y<\pi )$ とおく。$$F(x)=y(\pi +y)-\pi \sin y\geqq \pi (y-\sin y)\geqq 0.$$したがって全範囲で $S(r)\leqq 1\mathrm{/}(2\pi )$ である。
等号は $x=\pi$、すなわち $r=1\mathrm{/}\pi$ で成り立つから$$\max S(r)={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\mathrm{.}$$