京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$Q_1=(x_1,y_1)$ を接点とする。半径 $O{Q}_1$ と接線 $P{Q}_1$ は直交するから$$x_1(a-x_1)+y_1(b-y_1)=0$$である。$x_1^2+y_1^2=1$ より $a{x}_1+b{y}_1=1$ を得る。$Q_2$ も同じ式を満たすので、接点弦 $Q_1{Q}_2$ は $ax+by=1$ である。

その中点 $Q$ は円の中心から接点弦へ下ろした垂線の足である。$Q=(u,v)$ とおくと$$(u,v)={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}(a,b)$$であり、逆に$$(a,b)={\displaystyle \frac{1}{u^2+v^2}}(u,v)$$となる。$P$ が円の外部にある条件 $a^2+b^2>1$ は$$0<u^2+v^2<1$$に対応する。

さらに $a(a-b+1)<0$ に上式を代入し、正数 $(u^2+v^2{)}^2$ を掛けると$$u\{u-v+u^2+v^2\}<0$$を得る。したがって求める範囲は単位円の内部から原点を除いた部分のうち$$\{\begin{array}{l}u>0,v>u+u^2+v^2,\\ u<0,v<u+u^2+v^2\end{array}$$を満たす領域である。境界は $u=0$ と、$$u^2+v^2+u-v=0$$すなわち中心 $(-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$、半径 $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の円であり、いずれの境界も含まない。単位円内で、$u>0$ 側ではこの円の上側、$u<0$ 側ではこの円の下側を図示すればよい。

写像 $P\mapsto Q$ を単位円に関する反転とみなす。境界の直線2本を反転して、$Q$ 平面で直線と円に移し、試験点で不等号側を決める。

接点弦 $Q_1{Q}_2$ は$$ax+by=1$$である。その中点 $Q=(u,v)$ は原点からこの直線への垂線の足だから$$(u,v)={\displaystyle \frac{(a,b)}{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$すなわち $P\mapsto Q$ は単位円に関する反転であり、$$\begin{array}{cccc}& (a,b)={\displaystyle \frac{(u,v)}{u^2+v^2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$円外の点は$$0<u^2+v^2<1$$へ移る。

もとの領域の境界は $a=0$ と $a-b+1=0$ である。
前者は反転後も $u=0$ である。後者へ (1) を代入すると$${\displaystyle \frac{u-v}{u^2+v^2}}+1=0,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& u^2+v^2+u-v=0.& & \text{(2)}\end{array}$$これは中心 $(-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$、半径 $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の円である。

不等式自体は$$u\{u-v+u^2+v^2\}<0$$へ移る。したがって求める範囲は、開単位円から原点を除いた部分のうち$$\{\begin{array}{l}u>0,v>u+u^2+v^2,\\ u<0,v<u+u^2+v^2\end{array}$$を満たす領域である。直線 $u=0$、円 (2)、単位円周、原点はいずれも含まない。